第二章 正弦交流电路分析正弦稳态电路分析是研究电压、电流均随时间按正弦函数规律变化的电路，也称为正弦交流电路在生产上和日常生活中广泛使用的交流电，都是正弦交流电因此，正弦交流电路是电工电子技术课程中非常重要的一个部分主要内容有正弦交流电的基本概念，正弦交流电的表示方法，正弦交流电路的分析以及交流电路的频率特性等由于正弦交流电路中的物理量是按正弦规律变化的，因此，电路中的电流和电压是随时间交替变化的，这一点要区别于直流电路对本章中所介绍的一些基本概念、基本理论和分析方法要很好地掌握，为后续有关章节的学习打下理论基础2.1 正弦交流电的基本概念如果电路中所含的电源都是交流电源，则称该电路为交流电路(AC circuits)交流电压源的电压以及交流电流源的电流都是随时间做周期性的变化，如果这一变化方式是按正弦规律变化的，则称为正弦交流电源性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量如果电路中有多个激励且都是同一频率的正弦量，则根据线性电路的叠加性质，电路中的全部稳态响应将是同一频率的正弦量，处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路，又可称为正弦电流电路对这种电路的分析称为正弦稳态分析。
不论在实际应用中还是在理论分析中，正弦稳态分析都是极其重要的许多电气设备的设计，性能指标的分析都是按正弦稳态来考虑的例如，在设计高保真度音频放大器时，就要求它对输入的正弦信号能够“真实地”再现并加以放大又如，在电力系统中，大多数问题也都可以用正弦稳态分析来解决电工技术中的非正弦周期函数可以分解为频率成整数倍的正弦函数的无穷级数，这类问题也可以应用正弦稳态方法处理2.1.1 正弦量及其三要素随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和正弦电流在工程上常把正弦电流归之为交流(alternating current简写为 AC)在电路分析中把正弦电流、正弦电压统称为正弦量对正弦量的数学描述，可以采用正弦函数，也可以采用余弦函数本书采用余弦函数注意不要二者同时混用图2.1所示为一段电路中的正弦电流i及其波形在图示参考方向下，其瞬时值可表示为 (2.1)(2.1)式中的三个常数Im、ω、θi 称为正弦量的三要素 其中 Im 称为振幅或幅值(amplitude)正弦量是一个等幅振荡的、正负交替变化的周期函数，振幅是正弦量在整个振荡过程中可达到的最大值，即时，有。
当时，i将为最小值， 称为正弦量的峰-峰值i0θiiImωt2π(a) (b)图2. 1 正弦电流的波形 式(2.1) 中为正弦量随时间变化的角度，称为正弦量的相位，或称相位角称为正弦量的角频率，它是正弦量的相位随时间变化的角速度，即 ，单位为 角频率与正弦量的周期和频率之间的关系为：，，若的单位为秒(s)，则频率的单位为，称为Hz(赫兹，简称 赫)是正弦量在时刻的相位，称为正弦量的初相位(角)，简称初相，即ωTiIm0ωti0ωtImθi(a)=0 (b)＜0 图2. 2 正弦波示例初相的单位用弧度或度表示，通常在主值范围内取值，即 初相与正弦量计时起点的选择有关如图2.2所示电路，图(a)中，图(b)（中＜0对任一正弦量,初相是允许任意指定的,但对于一个电路中的许多相关正弦量,它们只能相对于一个共同的计时零点确定各自的相位工程中画波形图时，常把横坐标定为而不一定是时间t，两者的差别仅在于比例常数。
2.1.2 正弦量间的相位差正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据而在正弦交流电路中经常遇到同频率的正弦波，它们仅在最大值及初相上可能有所差别电路中常引用“相位差”的概念来描述两个同频率的正弦量之间的相位关系例如：设有两个同频率的正弦量这两个同频率的正弦量的相位差等于它们的相位之差，如设表示电压与电压之间的相位差，则 i，u0φ12u2i1ωt2π0u1u2πωtu图2. 3 不同相的正弦波 图2. 4 同频率正弦量的相位差相位差也是在主值范围之内取值上述结果表明：同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差，为一个与时间无关的常数电路中常采用“超前”和“滞后”来说明两个同频率正弦量相位比较的结果当时 ,称电压超前电压 ；当时, 称电压u1滞后电压 ；当时 ,称电压与同相；当时, 称电压与 正交 ；当,称电压与电压彼此反相 图2.3表示两个不同相的正弦波 也可以通过观察波形来确定相位差，如2.4所示在同一周期内两个波形的极大(小)值之间的角度值，即为两个正弦量的相位差，先到达极值点的正弦量为超前波图中所示为电流滞后于电压 相位差与计时起点的选取、变动无关。
在进行相关正弦量的分析时常选取某一正弦量作为参考正弦量，参考正弦量的初相位定义为零 由于正弦量的初相与设定的参考方向有关，当改变某一正弦量的参考方向时，则该正弦量的初相将改变，它与其他正弦量的相位差也将相应地改变2.1.3 有效值周期电流、电压的瞬时值是随时间而变化的，在电工技术中，我们有时并不需要知道它们每一瞬间的大小，而是将周期电流、电压在一个周期内产生的平均效应换算为在效应上与之相等的直流量，在这种情况下，就需要为它们规定一个表征大小的特征量，以衡量和比较周期电流或电压的效应这一直流量就称为周期量的有效值(effective value)周期电流(电压)和直流电流(电压)通过电阻时，电阻都要消耗电能当交流有效值与直流相等时，二者做功的平均效果也相同 设有两个相同的电阻R，分别通以周期电流i和直流电流I，当周期电流i流过电阻R时,电阻在一个周期T内所消耗的电能为 当直流电流I流过电阻R时，在相同的时间T内所消耗的电能为如果在周期电流的一个周期(或其任意整数倍)的时间内，这两个电阻R所消耗的电能相等，就平均效应而言，这两个电流是等效的，则该直流电流I的数值可以表征周期电流i的大小，称为周期电流i的有效值。
令以上两式相等，就可得到周期电流i的有效值的定义式，即 (2.2)上式表明，周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根，因此有效值又称为均方根值(root-mean-square value)上述的定义式是周期量有效值普遍适用的公式当电流i是正弦量时，可以得到正弦量的有效值与正弦量的最大值(振幅)之间的特殊关系即 同样，正弦电压的有效值和最大值也存在 由此可见，正弦量的有效值为其振幅的倍，与正弦量的频率和初相无关根据这一关系常将正弦量i改写成如下形式 也可用来表示正弦量的三要素工程中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流、电压的数值，交流电压表、电流表上标出的数字都是有效值2.2 电阻、电容及电感中的正弦电流 如第一章所述，在关联参考方向下，线性非时变电阻、电容及电感元件的VCR分别为 (2.3) (2.4) (2.5) 在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率的正弦波。
2.2.1 电阻元件 如图2.5(a)所示，设电阻元件通有正弦电流，电阻两端的电压为，若，根据欧姆定律得 则有 (2.6)iRuRuR，iRuRiRωt0(a) (b)图2. 5 线性非时变电阻的正弦稳态特性(2.6)式表明，电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流频率相同、初相相等，，波形如图2.5(b)所示比较等式两边的振幅关系应有或，即电阻元件的电压有效值和电流有效值应符合欧姆定律 2.2.2 电容元件 根据以上所述不难得出电容元件的正弦电压、电流关系若电容两端电压为 由 ，可得 (2.7)电容电压、电流的波形如图2.6(b)所示2.7)式表明，电容电压与电流有效值之间的关系为 或 (2.8)iCuC0θuuCiCuC，iCωt(a） (b）图2. 6 线性非时变电容的正弦稳态特性而电压与电流的相位关系则为 。
由此可见，电容电压滞后其电流的相位为式(2.8)中的具有与电阻相同的量纲当时, ，此时电容相当于开路 2.2.3 电感元件 对于电感元件来说，根据 ，则有 (2.9)(2.9)式表明，，电感电流的相位滞后电感电压的相位为电感电流与电压有效值的关系为 iLuLuLuL，iL0iLωtθi(a) (b) 图2. 7 线性非时变电感的正弦稳态特性 或 (2.10) 式(2.10)中具有与电阻相同的量纲 当时，，此时电感相当于短路图2.7为电感电压、电流波形图例2.1 设、、串联支路中的电流为 A，试求、、 的表达式 解 根据 ， , 则 V 根据 ， 所以 V 根据 ，所以 V2.3 正弦量的相量表示法2.3.1复数和常用的表示方法 如图2.8所示，向量复数代数表达示为，式中为虚单位（与数学中常用的等同）。
图中表示复数的大小，称为复数的模，、为复数的实部和虚部有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用表示，规定幅角的绝对值小于180°F图2. 8 复数坐标 ， （2.11） 由图可得复数的代数式转化。