空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算【学习目标】1. 了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法；2. 能熟练地将直线与平面之间的距离、两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离. 【要点梳理】要点一：两点之间的距离1. 定义 连接两点的线段的长度叫作两点之间的距离.如图，已知空间中有任意两点M, N，那么这两点间的距离d二MN .2. 向量求法设 M (x，y，z )，N (x，y，z )，则1 1 1 2 2 2d = MN = J(x x)2 +(y y)2 +(z z)2 .飞 1 2 1 2 1 2要点二：点到直线的距离1. 定义 从直线外一点向直线引垂线，点到垂足之间线段的长度就是该点到直线的距 离.如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点.过点A作 做垂直于l的直线，垂足为，则AA'即为点A到直线l的距离.要点诠释：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离 问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离距离.2. 向量求法要点诠释：(1)本公式利用勾股定理推得：夫A到直线l的距离|AA'|= PA|2 PA'|2，其中|PA'|是PA在s上的射影，即为PA s .0(2) PA s=PA x cos AAPA'=^A-， s为s的单位向量，其计算公式为s =.0 • s 0 0 |s|3. 计算步骤① 在直线l上取一点P，计算点P与已知点A对应的向量PA ；②确定直线l的方向向量s，并求其单位向量so③ 计算PA在向量s上的投影PA s ；0④ 计算点A到直线l的距离d=^\PA|2 |PA sq |2 .要点诠释厂在直线上选取点时」遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择4. 算法框图要点三：点到平面的距离1. 定义 自点向平面引垂线，点到垂足间的距离的长度叫作点到平面的距离.如图，设冗是垂直于向量n的平面，AP是平面冗的一条斜线，作AA'丄兀，垂足为A'，则AA'即为点A到平面冗的距离.2.向量求法d=\AA'\= PA n /0/「/厂其中n°为平面冗的单位法向量，其计算公式为n0帀-%尹3.计算步骤① 取平面兀内一点P，计算点P与已知点A对应的向量PA ；②求出平面冗的一个法向量n并计算其单位向量n=0③ 计算 PA n0，④ 计算点A到平面冗的距离d=AP n• 04.算法框图在乎ifri孔上 任取一点f|] 〔找到平血匕的袪向虽n计算向WA计算卩人在向量“上的投影皿'• “ I\WWh a剑f -W祝函矗离j要点诠释：（1） P 是平面内任意一点，可根据计算的需要灵活选择.（2） 点面距还有一种重要的求法为等积转化法. 要点四：两条异面直线的距离1. 定义 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度叫作两条异面直线的距离.如图，已知l,1垂足分别是B , A，则|AB|即l是两条异面直线，直线AB丄l，且AB丄l ,2 1 2为异面直线l，l的距离.1 22. 向量求法设n是的l，l公垂线段AB的方向向量，又C，D分别是l，l上的任1 2 1 2 意一点，则l，l之间的距离为1 2d 二 AB 二 CD n°其中n为n的单位向量，其计算公式为"匚各-0 —» —0 \n\cd n 要点诠释：l，l之间的距离也可以写成d=.12 W3. 计算步骤①确定直线l，l的公垂线段的方向向量n，并计算与其共线同向的单位向量n =n；12 0 |n|② 取l上一点C， l上一点D，计算CD ；12③ 由公式d = CD n计算异面直线l, l的距离.要点五：与平面平行的直线到平面的距离1. 定义如果一条直线和一个平面平行，那么从这条直线任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段 的长度就是这条直线与这个平面间的距离.如图，已知直线l 〃平面冗，点A g l，作AA'丄兀垂足为A',则|AA'|就是直线直线l与平面冗d=|AA'|= PA n0P是平面冗内异于A'的点,间的距离.2. 向量求法设n是平面冗的法向量,距离为其中n为与向量n共线同向的单位向量，即为平面冗的单位法向量，其计算公式为n =各. o —. ° 网要点诠释：线面距的主旨上任取一点，转化为点面距.3. 计算步骤① 取直线上任一点A，平面冗内一点P，计算点P与点A对应的向量PA ；② 求出平面冗的一个法向量n，并计算与其共线同向的单位向量n =^ ；°心③ 由公式d=AP n可得点A到平面冗的距离.0要点六：两平行平面间的距离1.定义夹在两平行平面之间的公垂线段的长度就是这两个平行平面间的距离 如图，已知直线l与平面a， p，a 〃 p，l丄a , l丄0，垂足分别 为A， A'，则|AA'|就是平行平面a， 0间的距离.2. 向量求法设n是平面a （或0 ）的法向量，点A ea ,P ，贝Vd=|AA'|= PA n0其中n为与向量n共线同向的单位向量，其计算公式为n =各.0 — 0 |n|要点诠释：面面距的主旨在转化为点面距.3. 计算步骤 ① 取平面a内任一点A，平面0内一点P，计算点P与点A对应的向量PA ；②求出平面a （或P ）的一个法向量n并计算与其共线同向的单位向量n=^n0 n③ 由公式d= AP n0可得平行平面a，P间的距离.【典型例题】类型一：两点之间的距离例1.如图，在单位正方体ABCD - ABCD中，M，N分别是A D，BD的中点，求MN的1 1 1 1 1 1【思路点拨】建系，写出点A ], D], B，D，由中点公式写出点M，N的坐标，即可求出2’ 2’ 2丿|mn |.【答案】-2【解析】如图，以D为原点建立空间直线坐标系，则A ](1,0,1), D](0,0,1)，B(1,1,0),（1 1、由中点公式可得，M — ,0, 12 2丿所以，|mn|=总结升华】灵活掌握两点间的距离公式.【变式1】若正方体ABCD - ABCD的棱长为1,点P是AD的中点，点Q是BD上一点,1 1 1 1 1且DQ = 1DB，则P、Q两点间的距离\PQ是 .4【答案】必4如图建立空间直角坐标系，由题意可得，P f1 ,,0丿,Q [1,0,],则\PQ\=^.12 2 丿 F 4 4 丿 4ClAPDCQyB【变式2】如图，在长方体ABCD - ABCD中，AB = 5, BC = 3, AA = 4 ,M, N分别是AB , 1 1 1 1 1 1BD 的点，且 AM = - AB , BN =1BD，求MN 的长.【答案】—3【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，则B(5,0,0)，D(0,3,0)，B](5,0,4)， 设 M (x, y, z), N(x', y', z'),由 AM =1 AB , BN = 1 BD，得M 7,0,三，N 亍,1,0 ，3丿所以，|MN= (5 10Y+(0 02V v 3 3 丿5叮23类型二：点到直线的距离例2.如图，在长方体ABCD - ABCD中，已知AB=3, BC=4, AA=5，求点A,到下列直1 1 1 1 1 1线的距离：（1）直线 AC（2）直线BD.【思路点拨】（1） AA 即为所求；（2）建系，利用向量坐标计算，1向量，代入公式求解.【解析】（1）在长方体ABCD - ABCD中，显然AA丄AC，1111 i所以AA =5即为所求点A到直线AC的距离.i 1⑵如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则有B （4，3，0），A （4，0，5）・1DB =（4，3，0）， DA 1 =（4，0，5），DA1 DBdbI165则点A到直线BD的距离为1 *d=【总结升华】本题（1）利用基本定义直接求解距离，（2）利用向量方法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解. ——【变 式 】 如 图 ， P 为 矩形 ABCD 所 在 平 面 外 一点 ， PA 丄 平 面 ABCD . 若AB = 3, AD = 4, PA = 1，则点P到BD的距离为 .13【答案】彳类型三：点到平面的距离高清栏目 401043 空间角与空间距离例4例3.如图，已知ABCD是矩形，AB = a, AD = b , PA丄平面ABCD, PA = 2c, Q是PA的 中点，求：（1） Q到BD的距离；（2） P到平面BQD的距离.【思路点拨】【答案】（1）c2 ；(2)a2 + b 2abc\ a 2 b 2+a 2 c 2 + b 2 c 2【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则B（a，0，0），D（0，b，0），Q （0，0，c），P （0, 0， 2c）.(1)BD = (-a,b ,0),，Q = (-a,0 , c)，则Q到BD的距离为:BQ BD、吋‘a 2 b 2c 2 +a + b2(2)设平面BQD的法向量为n，贝Un BD = ax + by = 0,