线性系统理论综合练习1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆变成2cm的射流，并均匀喷洒在网状传送带上为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系投料箱内的压力是需要 控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌 注的气压之和由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证 纸张的质量在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型：处错误!未找到引用源x+ 己uL0.001 0」y二 错误！未找到引用源其中，系统的状态变量 错误!未找到引用源二液面高度，错误!未找到引用源 压力，系统的控制变量 错误!未找到引用源二纸浆流量，错误！未找到引用源气压 阀门的开启量在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特 征根，并且有一个根大于 5.解：由状态空间描述：立=错误!未找到引用源x+[f终:-ULUUJ. (J-y二错误!未找到引用源得：[―n R 0 021 nn, n ，输入矩阵B=错误!未找到引用源由题目要求，确定系统的特征根为 -5 , -3即状态反馈控制系统的极点配置为 错误! 未找到引用源6,错误!未找到引用源2用Matlab实现：A=[-0.8, 0.02;-0.02, 0];B=[0.05, 1;0.001 ,0];P=[6, 2];K=place(A,B,P)最后结果为：1.0e+003-0.0200 -2.0000-0.0058 0.10002、描述恒速制导导弹的运动方程为：文二错误!未找到引用源。
x+错误!未找到引用源uy=[0 0 0 1 0]x(a) 运用crtb函数计算系统的能控性矩阵，并验证系统是不可控的；(b) 计算从u到y得传递函数，并消去传递函数中的分子和分母公因式，由此可得 到能控的状态空间模型在消去了公因子后，用tf2ss函数确定新的状态变量模型；(c) 证明(b)中得到的状态变量模型是能控的；(d) 证明恒速制导导弹是否稳定解：由描述恒速制导导弹的运动方程为：错误!未找到引用源错误!未找到引用源x+错误!未找到引用源uy=[0 0 0 1 0]x得：l[(ri系统矩阵八二错误!未找到引用源输入矢!阵B= 0 ;0o(a)用 Matlab 实现：A=[0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 00];B=[0;1;0;0;0];Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)系统的能控性矩阵为:Qc =0 1.0000 -0.5000 0.1500 -0.02501.0000 -0.5000 0.1500 -0.0250 -0.002500 0.5000 -0.2500 0.0750000 5.0000 -2.50000 1.00000 -0.1000 0.0500Rc =4由 rank( Qc)=4
b )用Matlab 实现 :syms s GG gg ;A=[0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 0 0];B=[0;1;0;0;0];C=[0 0 0 1 0];D=[0];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)Gss=ss(A,B,C,D);Gtf=tf(Gss)Transfer function:5 sA4 + 0.5 sA3 + 0.1 sA2由传递函数矩阵可以看出，分母次数是4 次，而系统是5 阶的，说明传递函数发生了零极点相消的情况，进而判断知道系统是不可控或者是不可观的，有上述知道，该系统是不可控的用 Matlab 实现 :Gzpk=zpk(Gtf)Zero/pole/gain:5sA2 (sA2 + 0.5s + 0.1)>> Gss=ss(Gtf)a =x1x2x3x4x1-0.5-0.400x20.25000x3 0 0.12500x400 0.250b =u1x1 32x2 0x3 0x4 0c =x1 x2 x3 x4y1 0 0 0 20d =u1y1 0(c) 根据(b )中得到的状态空间模型，判断该系统是否能控用 Matlab 实现 :A=[-0.5 -0.4 0 0;0.25 0 0 0;0 0.125 0 0;0 0 0.25 0];B=[32;0;0;0];Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)系统的能控性矩阵为：Qc =32.0000 -16.0000 4.8000 -0.80000 8.0000 -4.0000 1.200000 1.0000 -0.5000000 0.2500Rc =4由 rank( Qc)=4=n=4 知道，系统是可控的。
d) 根据最初的系统矩阵A= 错误 !未找到引用源 ，判断它的特征值用 Matlab 实现 :A=[0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 0 0];Lambda=eig(A)Lambda =000-0.2500 + 0.1936i-0.2500 - 0.1936i可以看到，系统有三个零特征值，一对共辗复数根，且位于 S左半平面，从而知道，系统是李亚普诺夫意义下的稳定e) 讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系（假设用状态变量的数目来度量复杂性）一个系统要能控，必须要能控型矩阵的秩等于系统的阶数，反过来讲，系统越复杂，状态变量的个数越多，能控型矩阵要求满足的秩也就越大，就很难达到要求，从而其能控性也就不容易满足得出，越复杂的系统越不容易达到完全能控3、垂直起降的飞机的线性化模型为：错误!未找到引用源Ax+ 错误 !未找到引用源 +错误 !未找到引用源其中，A= 错误 !未找到引用源错误 !未找到引用源 =错误 !未找到引用源 错误 !未找到引用源 = 错误 ! 未找到引用源系统的状态变量为水平速度错误 ! 未找到引用源。
（节），垂直速度错误 !未找到引用源 （节），倾斜率错误 !未找到引用源度/秒），倾斜角错误 !未找到引用源度），系统的控制输入为 错误 ! 未找到引用源 和错误 !未找到引用源 ，其中 错误 !未找到引用源 用于控制垂直运动， 错误 ! 未找到引用源 用于控制水平运动 a ） 计算系统矩阵A 的特征值，并由此判断系统是否稳定；（b）利用poly函数确定A的特征多项式，计算特征根，并与（a）中得到的特征根 相比较；（ c）当只有 错误 ! 未找到引用源 发挥作用的时候，系统能控吗？当只有错误 ! 未找到引用源 发挥作用的时候，结果又如何？解：由题意知：A= 错误 !未找到引用源 a ）用 Matlab 实现 :A=[-0.0366 0.0271 0.0188 -0.4555;0.0482 -1.0100 0.0024 -4.0208;0.1002 0.3681 -0.7070 1.4200;0 0 1 0];Lambda=eig(A)Lambda =0.2758 + 0.2576i0.2758 - 0.2576i-0.2325-2.0727由于系统的特征值中有一对共轭复根，它们具有正实部，因此系统是不稳定的。
b)利用poly函数确定A的特征多项式用 Matlab 实现 :A=[-0.0366 0.0271 0.0188 -0.4555;0.0482 -1.0100 0.0024 - 4.0208;0.1002 0.3681 -0.7070 1.4200;0 0 1 0];b=poly(A)特征多项式的系数为：b =1.0000 1.7536 -0.6472 0.0625 0.0686用 Matlab 实现 :p=[1.0000 1.7536 -0.6472 0.0625 0.0686];roots(p)进而根据特征多项式的系数求得的特征根为ans =-2.07270.2758 + 0.2576i0.2758 - 0.2576i-0.2324a ）和方式（ b ）得到的结果几乎一致c)当只有错误作用时，由题意知:B］二错误用Matlab实现：A=[-0.0366 0.0271 0.0188 -0.4555;0.0482 -1.0100 0.0024 -4.0208;0.1002 0.3681 -0.7070 1.4200;0 0 1 0];B=[0.4422;3.5446;-5.5200;0];Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)Qc =0.4422 -0.0239 2.5172 -2.02673.5446 -3.5720 25.8140 -47.0978-5.5200 5.2517 -12.8686 26.30990 -5.5200 5.2517 -12.8686Rc =由rank( Qc)=4=n=4 知道，系统是可控的当只有错误作用时，由题意知:错误二错误用Matlab实现：A=[-0.0366 0.0271 0.0188 -0.4555;0.0482 -1.0100 0.0024 -4.0208;0.1002 0.3681 -0.7070 1.4200;0 0 1 0];B=[0.1761;-7.5922;4.4900;0];Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)Qc =0.1761 -0.1278 -1.9441 2.3338-7.5922 7.6874 -25.8381 49.96464.4900 -5.9515 13.4004 -27.63100 4.4900 -5.9515 13.4004Rc =4由 rank( Qc)=4=n=4 知道，系统是可控的。
求得当 u1 和 u2 作用时系统均为能控4、为了探究月球表面(远离地球的一面)的奥秘，人们付出了不懈的努力例如，在地球- 太阳-月球系统中，人们希望通信卫星能定点在不受月球遮挡的轨道上，并为此开展了广泛的论证研究工作图中给出了预期卫星轨道的示意图，从地球上看上去，卫星轨道的光影恰似环绕月球的外层光晕，因此这层轨道又称为光晕轨道轨道控制的目的是使通信卫星在地球可见的光晕轨道上运行，从而保证通信链路的畅通，所需的通信链路包括从地球到卫星和从卫星到月球背面共两端线路卫星绕定点位置运动时，经过标准化和线性化的漂移运动方程为：错误!未找到引用源错误!未找到引用源x+错误!未找到引用源错误!未找到引用源 +错误 !未找到引用源错误 !未找到引用源 +错误 !未找到引用源 错误 ! 未找到引用源其中状态变量x 是卫星在三个方向上的位置和速度漂移，输入 错误 ! 未找到引用源 (i=1,2,3 )分别是轨道发动机在错误 !未找到引用源向上产生的加速度a)卫星顶点位置是否稳定;(b) 如果只有 错误 ! 未找到引用源发挥作用，卫星是否能控？。