2011年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 11 页2011年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 11 页2011年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 11 页2011年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 11 页2011年数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】(C).工3 (3)3【解】 方法一 由 sin x =x o (工3 ) 9 sin 3x -：-o(j:3) 9J ! J !. 得 3sin x 一 sin = (-x3 + o (jc 3 )4z3，故 c = 4M = 3：应选(C)亠、_ , . 3sin x 一 sin . 3sin jc, . . 3x sin 3x万法一 由 lim- -= lim-H lim工一0 JQ X-*O X方法点评：常数项级数的基本性质主要有：（1） 级数的敛散性与级数前有限项无关；（2） 添加括号提高级数收敛性；（3） 添加绝对值提高级数的发散性.X 3x3x3工, 3sm x 一 3jc sin x 一 x cos x 一 1HTJ 11m-= 31im- -= lim- -r-*0 X 工-* X 工 X丄 IJC 3. 3x 一 sin 3x _v 一 sm 3$ = r t 一 sin tlim-= 271im- -= z71im工-0 x lo ( 3jc ) lo2Ic. 1 cos t91imz-03(3jc )3所以 lim n _ 血 =4，艮卩 3sjn x sin 3x 4无3，应选(C).x-*0 x（2）【答案】（E）.【解lim也匚竺L0 x=lim0了Q）T（O） _ 2 （工3）_ 于（）】X 3应选（B）.（3）【答案】（A）.【解】 令S” = 1 + “2 + +”，若工”收敛，贝U limS”存在且lim%” =0.n = 8 ”8令 S： = （1 + 2）+（W3 + u4）+ +（2”一1 + 2”）=1 + 2 + 3 + “4 + + 2”一1 + “2” =S2” ,因为limS”存在，所以limS2n存在，即limS”存在，于是级数 仏”一】+%）收敛，应选（A）.Tlf8 九OO 71” =取”=（一1），显然工（2”-1 + 2”）收敛，但Y ”发散，（E）不对；n = 1 n = lz _ -I n-1 00 00 00 1取= ，显然收敛，但工（“I 2”）=工一发散，（C）不对；71 n = l n = l n = l 71-i 00 00 /_ n-1 00取un =一，显然 Y（“2”_1 一 “2”）=工-收敛，但工”发散，（D）不对.71 n = l n = l 71 n = l2011年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 11 页(4)【答案】(B).兀【解】 当 0z V 时9 由 sin x V cos x V cot jc 得 In sin 工 V In cos V In cot x ? 4从而 4 In sin x dx C | In cos 攵 dr V | In cot zdz，即/ Z K 0,故九(工)尸2(工)+/2(2)厂(工)为某个随机变量的 密度函数，应选(D).(8)【答案】(D).【解】 ECTJ =丄乞E(XQ =E(X)=入，E(T2)-yE(X,)+E(x) = (1 + E(X) = (1+ 丄)入， n 1 7 = 1 n n / n /因为 ECTJ E(T2)，所以(A),(B)不对；DCTJ=Ad(X,)=丄 D(X)n , = i 2011年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 11 页1 一1 1 入 入D(T2) = -7-7D(X) H)(X”) )=- H2 ,(n 1) ! = i n n 1 n显然DCTJ 010421015135丿01-102丿p =2ai + 4口2 Ch ,于是 ”2=5 +2a2+0a3，103 = 5ai + 10a 2 2a 3.(21)【解】(I )因为r(A)=2 +PX=l,Y = 0丄 IPZ = 1=1 PZ= 1PZ=O=*,厂101则z的分布律为z “7 111 3T3 2(皿)由 E(X) =y,E(Y)=0,E(XY) =E(Z) =0,得 Cov(X,Y) E(XY) -E(X)E(Y) =0,于是 pXY=0.（23）【解】（I） （X,Y）的概率密度函数为fCx,y） =X的概率密度为心（工）=J_/（D）dy,Cx ,y) G, (z G ,当 zWO 或工$2 时，/x（z）=0；当0攵1时，/（工）=曲=工；J 0当 1 2 时，/（攵）=dy=2 攵,J 0A , 0 V jc V 1,贝 9 f = x ? 1 W 攵 V 2,o, 其他.f+O(n ) Y 的概率密度为 /y(j/) = J f(x,y)dj：,当 0 VjyV 1 时，/()= dr = 2(1y), J y当 y 0 或夕 时，/y(j/) =0,则 A（ （.）=） ）r0 V y V 1, 其他.当Y=y（O V y V 1）时，X的条件概率密度为2（1 y ）0,X|Y( (Z I y)fG，夕） 几（夕）_y V z V 2 y , 其他.2011年全国硕士研究生考试数学三真题第 11 页，共 11 页。