对数学开放题设计的思考摘 要：随着教育的改革，数学开放题成为数学教育界的一个新热点，它是培养学生创新 精神较佳途径之一而数学开放题的设计应是多方面的，我们从几个方面的研究:(1) 条件的开放 (2)问题的开放 (3)内容的开放(4 )操作的开放 (5 )综合的开放.关键词：开放性，思维，设计自70年代出现“开放性问题”以来，“数学开放题”与“数学开放教学方 法(open-ended teaching approach)在国际数学教育界己成为热门话题” lu. 教育改革进行以来，以培养人的能力为核心的问题解决、数学建模、数学开放 题等教学模式受到越来越多的数学教育工作者的重视，而教师的教学观与学生 的学习观也发生了很大的变化.近儿年，开放题也成为我国数学教育界的一个新 热点.教师非常重视对•开放题各种特点的研究，特别是开放题的设计.⑵下面我 们一•起来探讨数学开放设计.一、数学开放题设计的基本要求开放式教学一般来说总是以开放题为切入口的所以，开放题给具有好奇 心的学生提供了更多的探索时间和更大的思维空间现就数学开放题的基本要 求和设计原则如下：首先，要求开放题设计时应立足于教材内容和学生基础知 识，应从客观实际出发；其次，设计数学开放题要选择有用、有趣、学生熟悉 的问题情境，有利于调动学生学习的积极性和提高学生分析、研究、解决问题 的能力，又有利于使学生体会到知识的实用价值，体验到数学知识来源于生活, 又服务于生活。
要使不同的学生都能在解决问题中得到最佳发展.让所有的学生 从中体验“人人掌握数学”和“不同的人学习不同样的数学”的数学教育思 想.二、数学开放题设计类型何谓开放性题目，是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多 方面、多角度、多层次探索的数学问题.⑶也可以说是给学生以较大认知空间题 门.因为开放题让认知空间拓宽了学生的思维活动范围，为学生展现自我，获取 成功带来了机遇.学生只有通过积极的探索活动才能找到解题的方向，获得自身 的发展.这就需要教师在不仅要用好教材上的开放题，更要善于设计适合学生实 际的开放题.此类题目的设计一般可以围绕以下几个方面进行：1、条件的开放：在开放题中，条件的开放是指条件不充足，条件不确定或条件多余.一般情 况下，学生解题时必须以问题为指向，对现有的条件进行筛选、补充和组合， 从而构建出一个严密的推理体系.但现行教材中绝大部分题目的条件不会不足 或多余，学生对现有条件只须进行组合即可，而无须筛选、补充，这样就压缩 了学生的思维空间.针对•这一情况，我们可以设计条件多余，条件不定，条件不 充分等类型的题目，促使学生对现有条件进行全方位的审视，从而培养学生思 维的灵活性和严密性，提高学生判断和辨别的能力！(1)条件的不足例如:有一道习题，其一部分文字是这样的：已知二次函数的图像过点A (c, 0 ),……求证这个二次函数的图象关于直线x = 2对称，其中省略部分是一段 被墨水染污了无法辨认的文字.根据现有信息，你认为题中的二次函数可能具有 哪些性质？⑷学生做题时，应从自己己有的认识角度出发，补充被墨水染污处的 条件并进行解答.现在我们来分析与解答这道题：首先,要使其图像对称轴为x=2,必须史=22即 。
—4其次，由已知得c2 + be + c = 0c(c + b + 1) = 0「・ c = 0 或 c、+ 人 + 1 = 0联系到b = —4,这个二次函数的解析式可能是:y = x2 -4x 或 y = x2 -4x + 3经过分析整理，以下的是其中一部分性质：如果函数解析式为），=尸_4们 那么可得以下性质：%1 h = -4 , c = 0 ；%1 图像经过原点；%1 A = 16 > 0 ；%1 最小值为- 4；%1 顶点坐标为（2, -4）；%1 与x轴的两个交点之间的距离为4；%1 与x轴的两个交点分别为（0, 0）, （4, 0）.如果函数解析式为），=尸_4尤+ 3 ,那么可得以下性质:①b = -4 , c = 3 ；②最小值为- 1;③A = 4 > 0 ；④与y轴的交点坐标是（0, 3）；⑤顶点坐标为（2, -1）；⑥与x轴的两个交点分别为（1, 0）, （3, 0）；⑦与x轴的两个交点之间的距离为2 .由此可见，设置条件不足的问题能激活学生的多维度的思维.这样一来，学 生的思维空间就被拓宽了.（2）条件的不定在传•统教学中，许多教师喜欢让学生机械性的做大量的练习，这不仅使学 生感到乏味，同时也禁锢了学生的思维.其实，我们可以设计一些条件不确定的 题H来提高学生的兴趣.如：“分类”一课的练习，有狮子、鹿、马、鱼，要求 学生找出不同的是什么？大部分学生说：鱼不同，鱼是生活在水里的，而其他三种动物都生活在陆地 上.这时甲补充说明：鱼的尾巴可以掌握方向，而其他三种动物的尾巴没这个作 用.乙：我觉得狮子不同，因为狮子是吃肉的，其他三种动物不是食肉的.内：我觉得鹿不同，鹿的头上长角，其他三种动物头上不长角.T:马不同.W：马为什么不同，理由是什么？T：马可以骑呀，其他三种动物不可以骑.由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维的不同，他们对问题的看 法和理解也是千差万别的.这些差异本身就是一种宝贵的资源.每个学生的思维 方式、知识面等必然会对其他同学产生影响.这是开放题材所具有的独特功能.（3）条件的多余学生的思维常常表现出受喑示而盲目附和，不能正确地排除干扰因素的倾 向.因此，教师应有意识地把有用的条件和无用的条件放在一•起，培养学生认真 审题的习惯.例如：小明家与学校的距离是小强家与学校距离的2.5倍，小强家距学校 500米，两家之间相距1000米，小明放学回家用了 15分钟，求小强家与学校的 距离是小明家与学校距离的百分之几。
分析：要求问题必须知道两家距学校各多少米根据“小强家距学校500 米”和“小明家与学校距离是小强家与学校距离的2.5倍”，先求出小明家距 学校多少米，再求问题解：5004- （500X2.5） =5004-1250=40%从中发现题中“两家相距1000米”和“小明放学回家用了 15分钟”这两 个条件是多余的引导学生从众多的已知条件中，排除表面现象的干扰，抓住问题的本质， 高效、简洁的解决问题，能促进学生深刻性的发展,提高他们创造性的解决问题 的能力2、问题的开放数学问题是现实生活的反映.现实生活中的数学问题如何解决往往存在着 多种可能性，教师可以根据以下三个方面设计一些多样化的开放题.1）拓宽问题的解决方式，编制开放性问题 现行教材中的应用题大多己指出并限定了问题的解决方法，这样容易造成 学生的思维定势，不利于学生发挥想象.为了创造出具有个性特色的解决方法, 教师可从拓宽问题的解决方式入手，编制开放性题目.如：甲、乙两厂合做5000 个零件，按3： 2分给甲、乙两厂完成，这两厂各要生产多少个零件？题目出示以后，同学们通过积极思考，大胆探索.出现了下面儿中解法:%1 分数法解：乙：5000： （1+ -） =2000 （个）2（个）甲：5000-2000=3000 （个）%1 方程解：解：设每份为x个.2x+3x = 50005x=5000x=1000甲：2x=2X1000 =2000 （个）， 乙:%1 按比例分配法：2+3=53甲：5000 X-=3000 （个）52乙：5000 X - =2000 （个）②分数法解2甲：5000： （1+- ） =3000 3乙：5000-3000=2000 （个）3x=3X1000 =3000 （个）⑤归一法：5000」（2+3） =1000 （个）甲：1000X3二3000 （个）乙：1000X2=2000 （个）5类似这样的题目，由于不限定了问题的解决方式，学生可以根据自身的学习情况找到不同的解决方法，提高学生的创造热情；也可以引导学生从不同的 角度思考，提高学生解题的灵活性、敏捷性.2）设计可能有多种结果的开放题目由于客观事物千变万化，数学问题也必然复杂多变，往往不可能得到唯一 答案.我们必须有意识地设计多种计算的开放题，引导学生摆脱〃答案唯一〃的僵 化思维模式.如：陈老师家离学校350米，刘老师家离学校600米，陈老师家与 刘老师家相距多少米？在这个题目中，如果陈老帅家与刘老师家分别在学校的 左右两边，那么，两家相距应为350 + 600二950（米）；如果陈老师家与刘老师 家同在学校的一边，那么，两家相距应为600-350 = 250 （米）.通过这种类型的 开放题训练可培养学生的发散性思维和勇于探索、勇于创新的精神.3）应用背景下的开放问题将应用和建模问题作开放性改造.具体地说，是对已有的应用问题或建模问 题可以通过以下方式增加开放度.对己有的应用和建模问题的求解过程、结果进行求异改造、反思、扩张、 重组，可以从不同角度生成一系列新问题.比如可以将课本或已有的文字应用题 加以“延长”.例如磁带求长问题：一盘60分钟的普通磁带有多长？我们可以 改变原问题中的对象，可以形成以下问题：%1 求45分钟、90分钟、120分钟磁带的长%1 求120分钟录像带的长%1 求一个纸卷（内半径r = 2cm,外半径R = 20cm）纸的长%1 求一轴线的线长也可对原问题进行逆向思维，可以形成以下问题：%1 求磁带全绕于左侧时的匝数%1 求磁带在放音时通过磁头的线速度v%1 磁带盒里最多可以装多长的磁带？%1 带盒的面积固定，改变它的长宽比，能提高载带长度吗？由此可见，问题的增加可带来更开放的思考和成果.只要我们勤于学习，大 处着眼，小处着手，留心观察，善于联想发掘，从自己熟悉的材料入手，就一 定能逐步使我们的思维丰富起来.3、内容的开放数学教育联系实际的渠道很多，比如，家庭中的数学题，购物中的数学题, 活动中的数学题，这些题目都是学生关心的.教学中，教师可结合学生实际生活, 设计一些实用性的开放题，促进学生具体问题具体分析，以增强学生的应用意 识和实践能力.例如：在学习“分类”一课时，布置学生进行社会调查：哪些地 方用了分类这一知识?这种题目和学生的生活实际紧密联系，不同的学生根据自 己的生活经验有不同的解题策略：有的学生整理了书架——把科技知识类的书 放在一起，把历史名著放在一起，把杂志小说放在一起；有的学生整理了冰箱 ——把蔬菜、水果、饮料和蛋分开放；整理衣橱的更是多样，有的把内衣和外 衣分开放，有的把大人和小孩衣服分开放，有的把夏天和冬天的衣服分开放.这 些都让学生更好地理解“数学源于生活，又服务于生活”的理念，有效提高学 生个体的数学素养.4、 操作的开放该类题是比较好的数学开放题形式，让学生通过己动手制作、画图或实 验活动获得具体、直观、感性的经验.美国华盛顿图书馆墙上挂有这么条标语：“我听见了就忘记了，我看见了就记住了，我做了就理解了成充分体现了 “让学生在做中学”的数学观念.例:拿几张长方形纸，分别折叠出它的1/8,你 能折叠出几种不同的图形来吗？通过实践操作、分析讨论，学生加深对分数意 义及“平均分”概念的理解。
这种既动手又动脑的活动，使学生产生浓厚兴趣, 不仅对知识有了全面理解，提高学生的动手能力，乂提高了自主探索的积极性, 切实体现了素质教育的要求.5、 综合的开放某一数学问题，若题ri的条件、解题策略或结论中有两项以上不确定，则 为综合开放题综合开放题可以是同学科的，也可以是跨学科的例如，学完平面图形知识以后，可设计这样一题让学生研究：把校园内的 一块长100米，宽80米的长方形空。