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2.2 多个自变量的方程的分类 数理方程课件

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2.2 多个自变量的方程的分类 数理方程课件_第1页
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14第二章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型例2.1.5.求下列方程的通解1) 4uxx+5uxy+uyy+ux+uy= 2; 3uxx+10uxy+3uyy= 0; yuxx+3yuxy+3ux= 0, y ̸= 0.2) x2uxx+ 2xyuxy+ y2uyy= 0, uxx+ 2uxy+ uyy= 0.注2.1.3.对拟线性偏微分方程,上述分类方法仍适用.例如,考虑方程utt+uxx+(1+u2x)uyy+ xuuzz= 0.其系数矩阵为111 + u2x xuA的特征值为1, 1, 1 + u2x, xu.故当xu > 0时,方程为椭圆型;当xu = 0时,方程为抛物型; 当xu 0,λ1λ2 0,λ1, λ2同号Q(λ1,λ2)正定或负定§2.2多个自变量的方程的分类15§2.2.2多个自变量的方程的分类回到(2.2.1),由其二阶偏导数的系数定义二次型Q(ξ) = Q(ξ1,ξ2,···,ξn) =n∑i,j=1aij(x)ξiξj= (ξ1,ξ2,···,ξn)a11a12···a1na21a22···a2n ............an1an2···annξ1ξ2 ...ξn= ξTAξ其中A = (aij(x))n×n是对称矩阵.类似于两个自变量的情形,有如下分类1)二次型Q(λ)在点x0处为非退化且不定(即A的特征值全非零且不同号) ,则称(2.2.1)在x0为 超双曲型的.特别地,若二次型Q(λ)的正惯性指数或负惯性指数为n − 1 (即A的特征值中 有n − 1个同号) ,则称(2.2.1)在x0为双曲型的.2)二次型Q(λ)在点x0处为退化二次型(即A至少有一个特征值为零) ,则称(2.2.1)在x0为 超抛物型的.特别地,若二次型Q(λ)的正惯性指数或负惯性指数为n − 1, (即A的特征值中 有n − 1个同号)则称(2.2.1)在x0为抛物型的.3)二次型Q(λ)在点x0处为正定或负定(即A的特征值全同号) ,则称(2.2.1)在x0为超椭圆 型的.例2.2.1. Laplace方程uxx+ uyy+ uzz= 0相应的二次型为Q(ξ1,ξ2,ξ3) = ξ21+ ξ22+ ξ23正定,其 矩阵特征值均为1, 1, 1,因此为椭圆型方程.声波方程utt−a2(uxx+uyy+uzz) = 0相应的二次型为Q(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) = ξ21−a2(ξ22+ξ23+ ξ24)既非退化也非正定或负定,其矩阵特征值为1, −a2, −a2, −a2,因此为双曲型方程.热传导方程ut−a2(uxx+uyy+uzz) = 0相应的二次型为Q(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) = −a2(ξ22+ξ23+ξ24) 为退化的,其矩阵特征值为0, −a2, −a2, −a2,因此为抛物型方程.§2.2.3常系数的多个自变量的方程的化简设(2.2.1)的系数aij, bi, c都为常数,则A = (aij)n×n为n阶实对称非零矩阵.作自变量的 非奇异线性变换(利用 《线性代数》 中化对称矩阵为对角形的方法(正交变换法、 配方法、 初 等变换法)得B = (bij)n×n使BABT=i1i2 ...in16第二章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型其中ik∈ {−1,0,1}, k = 1,2,· · ·,n)  ξ1= b11x1+ b12x2+ ··· + b1nxn,ξ2= b21x1+ b22x2+ ··· + b2nxn,...ξn= bn1x1+ bn2x2+ ··· + bnnxn.则(2.2.1)可化为标准形式p∑i=1∂2u ∂ξ2i−p+q∑j=p+1∂2u ∂ξ2j+n∑i=1Bi∂u ∂ξi+ C1u + F = 0.当p = 1, q = n − 1时,得双曲型方程的标准形式∂2u ∂ξ21−n∑j=2∂2u ∂ξ2j+n∑i=1Bi∂u ∂ξi+ C1u + F = 0当p = n − 1, q = 0时,得抛物型方程的标准形式n−1∑i=1∂2u ∂ξ2i−p+q∑j=p+1∂2u ∂ξ2j+n∑i=1Bi∂u ∂ξi+ C1u + F = 0当p = n, q = 0时,得椭圆型方程的标准形式n∑i=1∂2u ∂ξ2i−p+q∑j=p+1∂2u ∂ξ2j+n∑i=1Bi∂u ∂ξi+ C1u + F = 0例2.2.2.判断方程5uxx− 2uxy+ 6uxz+ 5uyy− 6uyz+ 3uzz= 0的类型,并将其化为标准型.解.方程对应的二次型的系数矩阵为A =5−13−15−33−33先求正交阵B,使BABT为对角阵;再作变换 ξηζ= Bxyz,(2.2.2)即 xyz= B−1ξηζ= BTξηζ§2.2多个自变量的方程的分类17即可化原方程为标准型.直接计算,得|λE − A| = λ(λ − 4)(λ − 9),故A的特征值是λ1= 0, λ2= 4, λ3= 9,因而方程为抛物型.与λ1, λ2, λ3对应的特征向量是β1= (−1, 1, 2)T,β2= (1, 1, 0)T,β3= (1, −1, 1)T它们两两正交,再进行单位化,即得正交矩阵B =−1√61√62√61√21√201√3−1√31√3考虑变换(2.2.2),原方程化为4uηη+ 9uζζ= 0.进一步令 bξb η bζ=10001 20001 3ξηζ则uη=1 2ub η, uζ=1 3ubζ, uηη=1 4ub ηb η, uζζ=1 9ubζbζ,原方程进一步化为ub ηb η+ubζbζ= 0,所用变换 为bξb η bζ=10001 20001 3−1√61√62√61√21√201√3−1√31√3xyz=−1√61√62√61 2√21 2√201 3√3−1 3√31 3√3xyz例2.2.3.化3uxx+ 2uxy+ 6uxy− 2uxz− 4uyz= 0为标准形式.解.相应于方程的二次型为Q(x,y,z) = λTAλ,其中A =33−132−2−1−20,λ =xyz即Q(x,y,z) = 3x2+ 2y2+ 6xy − 2xz − 4yz 下面用配方法化其为标准型.事实上,Q(x,y,z) =3(x2+ 2xy −2 3xz) + 2y2− 4yz (合并含x的项)=3(x + y −1 3z)2− 3y2−1 3z2+ 2yz + 2y2− 4yz=3(x + y −1 3z)2− y2−1 3z2− 2yz=3(x + y −1 3z)2− (y2+ 2yz) −1 3z2(合并含y的项)=3(x + y −1 3z)2− (y + z)2+ z2−1 3z2=3(x + y −1 3z)2− (y + z)2+ z2+2 3z218第二章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型故令 ξ =x + y −1 3z, η =y + z,ζ =z二次型可化为Q = 3ξ2− η2+2 3ζ2进而方程化为3uξξ− uηη+2 3uζζ= 0为双曲型. 进一步令bξb η bζ=1√30001000√62ξηζ则原方程进一步化为ubξbξ− ub ηb η+ ubζbζ= 0所用变换为bξb η bζ=1√30001000√6211−13 011001xyz=1√31√3−1 3√3 01100√62xyz例2.2.4.化uxy− uxz+ ux+ uy− uz= 0为标准形式.。

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