Jordan标准型与矩阵可对角化作者：徐朱城指导老师：宛金龙摘要本文以4 -矩阵的性质为基础，对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻的 结论 .Jordan标准型定理.然后，应用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley的证明，矩阵分解，线性微分方程组求解的问题.关键词 矩阵对角化 人-矩阵标准型 Jordan标准型 Hamilton-Cayley定 理1引言n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有〃个线性无关的特征1可量.那 么当只有m\m< 〃）个线性无关的特征向量时,A与对角阵是不相似的.对这神 情况，我们“退而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵来与人相似.这就引出了矩 阵在相似下的各种标准型问题.Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对 角阵相似的理论作为特例.此外，Jordan标准型的广泛应用涉及到 Hamilton-Cayley定理的证明，矩阵分解，线性微分方程组的求解等等.2 4-矩阵由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关，而从函数的角度看，特征多 项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵），这就引出对人-矩阵的研 究.2.1 4 .矩阵及其标准型定义1称矩阵A（/l） =（力（人））为人.矩阵，其中元素f ）（i = 1,2,= 1,2,为数域F上关于人的多项式.定义2 称〃阶2 .矩阵A（Z）是可逆的,如果有A(^)B(2) = B(^)A(^) = /„并称3(4)为4(/1)的逆矩阵.反之亦然.定理1⑴矩阵A(/l)可逆的充要条件是其行列式为非零的常数，即det{A{Ay)= c、。
0.证明：(1)充分性 设IA (人)|顼是一个非零的数.4*3)表示A(/l)的伴 随矩阵，则"一项*(幻也是一个人■矩阵，且有A(2)6/-,A* (2) = dxX (2)X(2) = /因此，A(/l)是可逆的.(2)必要性 设A(/l)有可逆矩阵8(/1),则A(A)B(/l) = Z两边取行列式有”(圳 8(4)1 = 14 = 1由于m(a)|与伊(人)|都是多项式，而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项 式，即都是非零常数.证毕.例题1判断人•矩阵矛+ 1 2 A-PA(/l) = 4+1 AI 1 J是否可逆.解虽然A(2)是满秩的，但|A(2)|不是非零常数，因而*(4)是不可逆的.注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必 要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.定义3如果矩阵A(/i)经过有限次的初等变换化成矩阵BU),则称矩阵A(4)与BQ)等价，记为A(2) = B(2)定理2矩阵A(A)与8(4)等价的充要与条件是存在可逆矩阵尸3)、Q3),使得B(2) = P(2)A(2)Q(2)证明 因为A(4)三3(4),所以A(/l)可以经过有限次初等变换变成3(4),即存在初等矩阵与初等矩阵Q("(/l),・・・,Q2)使得8(4)=匕(人泪(人)..." A(" (4)0 (/)..• Qt (A)令p(;i)= W)"…W),0人)="0"・"就是所要求的4 •矩阵.它们都是初等矩阵的乘积，从而使可逆的.证毕.引理1设4 ■矩阵A(2)=% （九）。
21（人）%2（"）…％〃（人）、 向2（人）… %"）的左上角元素％（人），o,并且至少有一个印（A）不能被印U）整除，则一定可 以找到一个与A（A）等价的矩阵，它的左上角元素不为零，且次数比知（人）的次 数低.定理3任意mx〃阶的人.矩阵A（/l）都必定可以通过初等变换找到一个 与之等价的Smith标准型.0(4)E)■
1,…，尸-1），其他的元素都是0.易证，在这种形式的矩阵中， 如果有一个R阶子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个#阶了式一定 为0.因此，为了计算如介行列式因了，只要看由匕,农,ik有行与区，…，4列（!的秩与相同的行列式因子,因此,A（A）的秩就是标准型的主对角线上非零元素的个数尸.4（/1）的R阶了式因了就是Dk(A) = dx (A)d2 (A)dk (A) (/: = 1,2,•••,/-)于是"）=辱）,弘（人）=也乌,.・・"）=丑打- “（4） 山（人）这说明出人）的标准型的主对角线上的非零元素是被出人）的行列式因子所唯 一决定的，所以AG）得标准型是唯一的.证毕. 定理6矩阵A(A)与3(4)等价的充要条件是它们有相同的行列式因了(或相同的不变因子).证明：上一个定理的证明给出了人•矩阵的行列式因子与不变因了之间的 关系.这个关系式说明行列式因了与不变因了是相互确定的.因此，说两个矩阵 有相同的各阶行列式因子,就等于说它们有相同的各级不变因-子.必要性已由定理1.2.1给出.充分性显然.事实上，若n矩阵A(2)与引人)有相同的不变因了，则A(4)与研人)和同一个标准型等价，因而A(A)与8(4)等价.证毕.定义6矩阵A(/l)的所有非常数不变因了的首项系数为1的不可约因式方慕的全体称为4(/1)的初等因子.定理7矩阵A(/l)与6(4)等价的充要条件是它们有相同的初等因子,并且秩相等.a -b-b aB =例题3求矩阵B的初等因了，其中a -b-b a 1 a -b-b a解：人一。
bh A — ciXI-B =A-a bb A-a -1 A — u bb A — ci由于有两个5阶了式人一 bbb A —ci —1A,—a —1A-a b= [(A-a)2-b2f(A-a),A-a bb A-a-1X-a-1A-a b是互素的，所以"）=1从而1 （九）=…=Z）4 （/I） = 1而又D6a）= |2Z-B| = [（2-a）2-b2]3所以8的不变因了为《（人）=. . .=么（人）=1, “6 （人）=6（"）=（4 - a- b）3 （2 -a+ b）3, 所以8的初等因子为（A — a— b）,（人—a+ b）.3 Jordan 标准型与矩阵可对角化在掌握了人-矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上 我们将进入Jordan标准型与矩阵可对角化理论的核心.3. 1对角化的定义及判定定理定义7如果方阵A相似于对角阵，即存在可逆矩阵P和对角阵D，使得 A = PDP~l ,WJ称A可对角化.定理8⑶（对角化定理）〃阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有〃 个线性无关的特征向量.事实上,A = PDPT, D为对角阵的充分必要条件是P的列向量是A的〃 个线性无关的特征向量.此时，。
的对角线上的元素分别是A的对应于P中的 特征向量的特征值.换句话说,A可对角化的充分必要条件是有〃个线性无关的特征向量形成 "的基，我们称这样的向量为特征向量基.证 首先看到，若P是列为*,七，…，匕的任一〃阶矩阵，是对角线元素 为 的对角阵，那么而2PD = P ~ • =[即I，德^，…，人*] ⑵..现在假设A可对角化且* = PDP-，用P右乘等式两边，则有AP = PD .此时 由（1）和（2）得[W，Ai/2，・・・，W』= [WK，4,2，・・・，4m] ⑶由列相等，有, Av2 =^k2 • -, Ayti =Anvn （4）因为P可逆，故P的列、,％，-，L必定线性无关洞样，因为这些G%，・・・，L 非零，（4）表示人人,•••,々是特征值,*,虬，…，匕是相应的特征向量.这就证 明了定理中第一，第二和随后的第三个命题的必要性.最后，给定任意〃个特征向量气，皿,・・・,七，用它们作为矩阵P的列，并用 相应的特征值来构造矩阵由（1）〜（3）。