平行四边形的应用 ——动点问题1 1 引言引言引言引言• 动点问题常见的类型有动点问题常见的类型有: : 单动点型、双动点型及多动点型单动点型、双动点型及多动点型单动点型、双动点型及多动点型单动点型、双动点型及多动点型本节课重点来探究平行四边形的应用之动点问题平行四边形的应用之动点问题图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题---动态几何动态几何该题型常常集几何、代数知识于一体，渗透数学思想方法，特别是方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等的运用，有较强的选拔功能，故为近年的热点中考压轴题．它通常分为三种类型：动点问动点问题、动线问题、动形问题题、动线问题、动形问题 如何解动点型问题？如何解动点型问题？2 2 知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾文文文文 字字字字 叙叙叙叙 述述述述（（1 1）平行四）平行四边边形的性形的性质质：：（（2 2）平行四）平行四边边形的判定：形的判定：文文文文 字字字字 叙叙叙叙 述述述述平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角相等、邻角互补平行四边形的对角线互相平分两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形对对称性称性边边角角对对角角线线边边角角对对角角线线3 3 例例1、、已知：在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AD, 点Q是BC边上一定点，AD=12cm,CQ=2cm,点P从点A出发沿AD边以1cm/s的速度向D运动.设运动时间为t秒，则当t=______秒时，四边形PQCD是平行四边形？ABCDPQ分析分析： 这是一道单动单动点型点型的动点问题．（1）AP=_______;PD=___________. （用含t的代数式表示） （2）若四边形PQCD是平行四边形， 只需条件：____________ 因此可列方程：_____________t12-tPD=CQ12-t=210解题策略：解题策略：动中求静，化动为静，构建方程模型动中求静，化动为静，构建方程模型. . 运用了数形结合、方程思想运用了数形结合、方程思想. .合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知4 4 变式变式1：： 在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AD, AD=12cm,BC=21cm,,点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动.设运动时间为t秒．问当t为何值时，以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？分析分析： 这是一道双双动动点型点型的动点问题．（1）AP=_____;PD=__________. CQ=_____;BQ=__________. （用含t的代数式表示） （2）若四边形PQCD是平行四边形， 只需条件：____________ 因此可列方程：_____________ABCDPQt12-tPD=CQ12-t=1.5t1.5t21-1.5t合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知5 5 变式变式1：： 在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AD, AD=12cm,BC=21cm,,点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动.设运动时间为t秒．问当t为何值时，以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？解解： 依依题题意得．意得．AP=t，，CQ=1.5t. 则则 PD=12-t. ∵∵ADAD∥∥BCBC，即，即PDPD∥∥CQCQ∴∴当当PD=CQPD=CQ时时，四，四边边形形PQCDPQCD是平行四是平行四边边形形∴ ∴ 12-t=1.5t 解得解得t=4.8 ∴∴当当t=4.8秒秒时时，，四四边边形形PQCDPQCD是平行四是平行四边边形形. .ABCDPQ合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知6 6 ABCD 变式变式变式变式2 2：：：： 在四边形在四边形ABCDABCD中中ADAD∥∥BC,ABBC,AB⊥⊥AD,AD=12cm,AD,AD=12cm,DC=15cmDC=15cm，，BC=21cm,AB=12cm, BC=21cm,AB=12cm, 点点P P从点从点A A以以1cm/s1cm/s的速度向点的速度向点D D运动，同时点运动，同时点Q Q从点从点C C以以1.5cm/s1.5cm/s的速度向点的速度向点B B运动运动. . 当其中一点当其中一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t t秒．秒．（（1 1）填空：）填空：AP=______, BQ=___________.AP=______, BQ=___________. （用含（用含t t的代数式表示）；的代数式表示）；（（2 2）若）若△△PBQPBQ的面积为的面积为S S，求出，求出S S与与t t的函数关系式，并写出自变的函数关系式，并写出自变量量t t的取值范围；的取值范围；t21-1.5t解：解：∵BQ=21-1.5t，AB=12 ∴S= BQ ·AB = (21-1.5t) ·12即S=-9t+126 (0≤t≤12)PQ合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知7 7 变式变式变式变式2 2：：：： （（3 3）若点）若点P P从点从点A A以以1cm/s1cm/s的速度沿的速度沿A A→→D D→→C C→→B B方向运动，同时方向运动，同时点点Q Q从点从点C C以以1.5cm/s1.5cm/s的速度沿的速度沿C C→→B B→→A A→→D D方向运动方向运动. .在在P P、、Q Q运动运动过程中，问是否存在以点过程中，问是否存在以点P P、、D D、、C C、、Q Q为顶点的四边形是平行四边为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出形？若存在，求出t t的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由. .探究动点关键：探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程化动为静，分类讨论，关注全过程PQABCDPQ图①ABCD图②合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知8 8 解：解：解：解： （（3 3）存在）存在. .∵∵t tp p=(12+15+21) ÷1=48(=(12+15+21) ÷1=48(秒秒) )，， t tQ Q=(21+12+12) ÷1.5=30(=(21+12+12) ÷1.5=30(秒秒) )∴∴Q Q先到达先到达. .PQABCD图①ABCD图②PQ合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知合作交流，探索新知 1）若）若P在在AD上，上，Q在在BC上时，如图上时，如图①①依题意得PD=12-t，CQ=1.5t当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形则 12-t=1.5t， 解得 t=4.8 2）若）若P在在BC上，上，Q在在AD上时，如图上时，如图②②依题意得QD=45-1.5t，PC=t-27当QD=PC时，四边形QPCD是平行四边形则 45-1.5t=t-27， 解得 t=28.8综上所述，存在以综上所述，存在以P、、D、、C、、Q为顶点的四边为顶点的四边形是平行四边形，其中形是平行四边形，其中t=4.8秒或秒或t=28.8秒秒.9 9 中考演练中考演练中考演练中考演练 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动.在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）秒. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6ABCDPQA分析：分析： 建立方程模型求解建立方程模型求解设运动时间为t秒，则PC=_______; BQ=____.可列方程：____________.12-3tt12-3t=t1010 收获一：动中求静，化动为静收获三：运用数学思想： 数形结合、方程、函数、分类讨论收获二：构建方程模型通过本节课的学习，同学们有哪些收获？（动点型问题的解题策略）小结小结小结小结1111 作业：作业： 详见导学案详见导学案1212 。