基础知识导引】 1．掌握复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方的运算法则，熟练地进行复数的三角形式的运算 2．理解复数乘法、除法的几何意义 3．掌握复数集内实系数一元二次方程的解法 4．了解二项方程的概念，掌握二项方程的解法以及根的几何分布 【教材内容全解】 1．两个复数与相乘，有． 即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和． 2．根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下(图5-11)： 在复平面内作出、对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角 (若，则按顺时针方向旋转一个角)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量就表示积，也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩．旋转方向与角度取决于另一复数的辐角，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小． 3．两个复数与相除，有． 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 4．根据三角形式的除法法则，结合向量知识，可以对复数除法的几何意义解释如下(图5-12)： 在复平面内作出、所对应的向量，将向量按顺时针方向旋转一个角 (若，则按逆时针方向旋转一个角)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量就表示商。
也就是说，复数除法实质上也是向量的旋转与伸缩，旋转的方向和角度取决于，伸长与缩短及其倍数取决于 5．复数的三角形式的乘方运算． 若z=r(cosθ+isinθ)，n为正整数，则． 即复数的n次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍．这个公式也叫做棣莫弗公式． 6．复数的三角形式的开方运算． 若z=r(cosθ+isinθ)，则z的n次方根是． 注意：(1)任意复数的n次方根有且只有n个，这n个方根仍然是复数； (2)公式中是指正数r的n次算术根． 7．在复数集内任何实系数一元二次方程都是有解的，当实系数一元二次方程的根的判别式时，其求根公式为 ． 8．形如的方程称为二项方程．二项方程在复数集中一定有解，它的n个根对应复平面内的n个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆上．以原点为起点，相邻两点分别为终点的两个向量间的夹角为． 【难题巧解点拨】 例1 计算（1）； （2） 解 （1）原式 ； （2）原式 说明：复数的乘、除运算一般用三角形式较方便，最后结果中辐角是特殊角时，常常化为代数形式表示。
例2 设复数、对应的向量为、，O为坐标原点，且若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数 解 依题意 ， ∴ 说明：本例是把向量旋转问题与复数三角形式的乘、除法联系起来，列出复数等式，从而求出，还可以用数形结合的方法，求出的辐角主值为，模为2，于是 例3 已知复数， 求3i-|z|的模与辐角主值 分析 应先求|z|，再代入求解 解 ∵， ∴3i-|z|=3i-4=-4+3i 因为|-4+3i|=5，即3i-|z|的模是5 又-4+3i在第二象限， ∴ 例4 已知，求正整数n的最小值 解 原式可化为， 即， ∴， ∴ ∴， n=-3(2k+1)(k∈Z) 因此正整数n的最小值为3 例5 已知复数z的一个四次方根是，求它的另外三个四次方根 解法1： ∴z的四次方根是 ，k=0，1，2，3 可得所求的另外三个四次方根是 ，， 解法2：， 又k取0，1，2，3时，方根的辐角相差，因此其他三个四次方根分别是，，。
说明：解法1是由方根乘方求出复数，只要有z的值，z的任意n次方根便可求得解法2则充分注意到n次方根中，k取0，1，2，…，n-1各值时，辐角依次成等差数列，公差为，从而由一个的辐角，容易求出其他n个根的辐角 例6 求arg(3+i)+arg(2+i)的值 解法1：设α=arg(3+i)，β=arg(2+i)，则有 ，，α， ∴， 又0<(α+β)< π， ∴，即 解法2：， 又arg(3+i)、， ∴ 例7 已知复平面内，点A、B、C分别对应复数z、、，且，求 （1）向量、对应的复数； （2）∠BAC的大小 解 （1）对应的复数为 对应的复数为 （2） ∴与的夹角∠BAC=90° 说明：由本例可以看出，利用复数除法可以求两个向量的夹角 例8 已知方程有两个虚数根α和β，且|α-β|=4，求实数m的值 分析 注意到α和β都虚数根，而m∈R，所以α和β应是共轭复数 解 由于α和β是实系数方程的两个虚根，则有△=4-4m<0，即m>1 解方程，得 ， 当|α-β|=4，得|， 于是，∴m=5 说明：应当注意，当α和β是虚数时，等式是不成立的，所以应用它求m的值是错误的，但是等式是成立的，因此本例也可以利用上述等式及根与系数关系求解。
【课本习题解答】 练习（第217）页） 1．（1）； （2）； （3）； （4）30(cos180°+isin180°)=-30 2．（1）； （2）； （3）； （4） 3．见本节“【教材内容全解】”中第4条 4．（1）， ； （3）， 练习（第222页） 1．（1）±3i； （2）±1.7i； （3）； （4）； （5）±|m|i（也可答±mi）； （6） 2．（1） （2）； （3）； （4） 3．（1）因为，所以它的平方根是 ， 即-i的平方根是下面两个复数： ， （2）因为，所以它的平方根是 即的平方根是下面两个复数： ， （3）因为1=cos0+isin0，所以它的立方根是 即1的立方根是下面三个复数： 1，， （4）因为-16=16(cosπ+isinπ)，所以它的四次方根是 即-16的四次方根是下面四个复数： ，，， 4．因为实系数一元二次方程在复数集内有两个根，所以 5．因为，所以根据复数五次方根在复平面内所对应的点的几何特征，可知z的另外四个五次方根是 ，， ，， 6．（1），所以 ， 即，，。
（2），所以， 即，， （3），所以 ， 即，，， （4），所以， 即，， ， 根的几何表示从略 7．可以得到一个以原点为中心，以实数为半径长的正n边形，这个正n边形是以原点为圆心，以实数为半径的圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆 习题5．6 1．（1）； （2）. 2．（1）左边==右边 （2）左边= =右边 3．（1）； （2） . 4．因为2，把复数对应的向量按逆时针方向旋转60°，相当于把复数乘以，所以所得的向量对应的复数是，即. （2）因为，把复数对应的向量按顺时针方向旋转60°，相当于把复数除以，所以与所得的向量对应的复数是，即 5．（1）左边右边 （2）当时，由第（1）小题，有， ∴的模是，辐角是； 当时，由第（1）小题，有 ， ∴的模是1，辐角是； 当时，有，由第（1）小题，有， ∴的模是1，辐角是； 6．（1）原式 （2）原式 7．证明：A、O、B是△AOB的三个顶点，所以，设，，且不妨设，则由棣莫弗公式，可得 ，① ② 由及复数相等的定义，所以将①+②， 可得 即 由⑥÷⑤，可得⑦。
由⑦得（与不符，舍去），或， 即 所以△AOB是直角三角形 8．（1）原式 ， （2）原式 9． 10．由习题5．5的第3题及棣莫弗公式，可知 左边 右边 11．（1），所以 （2），所以 （3），所以x=4±i （4），所以 12．提示：将，按复数加法、乘法的定义进行运算，即可获证 13．（1）或 （2）先求出，然后仿照解第（1）小题的方法， 可得或 或 或 14．由和第12题的结论，有，；又由已知条件，有 ，所以 由p∈R，知，所以，或 当时，有；当时，有； 当时，有x=1±i；当时，有x=-1±i 15．因为1=cos0+isin0，∴1的六次方根是 ， 即1的六次方根是下面六个复数： 1，，，-1，， 根的几何表示从略 16．（1）8(cos60°+isin60°)的六次方根是 ， 即，， ，， ，， （2），所以-i的五次方根是 ， 即，， ，， 17．（1），所以 ， 即，， ， （2），所以 ， 即， ， 。
【同步达纲练习】 一、选择题 1．已知复数，，则的辐角主值是（ ） A． B． C． D． 2．把复数a+bi(a，b∈R)在复平面内的对应向量，绕O点按顺时针方向旋转90°后，所得向量对应的复数为（ ） A．a-bi B．-a+bi C．b-ai D．-b+ai 3．复平面内向量、分别对应于非零复数和，若，则一定是（ ） A．非负数 B．纯虚数 C．正实数 D．非纯虚数 4．设3+4i的辐角主值为θ，则(3+4i)·i的辐角主值是（ ） A． B． C． D． 5．设-1
8．_______________ 9．把复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角（0<θ<2π)，所得向量对应的复数为-2，则θ=_______________ 10．复平面内向量对应的复数为2+i，A点对应的复数为-1，把绕A点按顺时针方向旋转90°。