专题十 平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0．(2)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝⇔sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0．(3)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0⇔ sin A·＋sin B·＋sin C·＝0．(4)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·⇔ tan A·＋tan B·＋tan C·＝0．关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G．④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．考点一 三角形四心的判断【例题选讲】[例1] (1) 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中点答案 C 解析 取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．答案 内心 解析 由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．(3)在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的( )A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心答案 C 解析 设BC边中点为D，∵2－2＝2 ·，∴(＋)·(－)＝2 ·，即·＝·，∴·＝0，则⊥，即MD⊥BC，∴MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必经过△ABC的外心，故选C．(4)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心答案 B 解析 因为＝＋λ(＋)，所以＝－＝λ(＋)，所以·＝·λ(＋)＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．(5)已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：①，②，③，④则点分别为的 A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心答案 D(6)下列叙述正确的是________．①为的重心．②为的垂心．③为的外心．④为的内心．答案 ①② 解析 ①为的重心，①正确；②由，同理，，②正确；③．， 与角的平分线平行，必然落在角的角平分线上，③错误；④为的外心，④错误．正确的叙述是①②．故答案为：①②．【对点训练-高考群：611508768-公众号：新课标试卷】1．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心1．答案 C 解析 由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．2．是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，且，则点的轨迹一定通过的( )A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心2．答案 C 解析 设的中点为．由已知原式可化为．即，所以，所以，，三点共线．所以点在边的中线上．故点的轨迹一定过的重心．3．已知O是△ABC所在平面上的一定点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心3．答案 C 解析 ∵|AB|sin B＝|AC|sin C，设它们等于t，∴＝＋λ·(＋)，设BC的中点为D，则＋＝2，λ·(＋)表示与共线的向量，而点D是BC的中点，即AD是△ABC的中线，∴点P的轨迹一定通过三角形的重心．故选C．4．为所在平面内一点，，，为的角，若，则点为的( )A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心4．答案 C 解析 由正弦定理得，即，由上式可得，所以，所以与的平分线共线，即在的平分线上，同理可证，也在，的平分线上，故是的内心．5．在中，，，，则直线通过的 A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心5．答案 C 解析 ，，，．即，设，，则，．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形为菱形．为菱形的对角线，平分．直线通过的内心．故选C．6．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心6．答案 C 解析 ，根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，而向量与共线，点的轨迹过的内心，故选C．7．设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心7．答案 C 解析 因为，所以，，所以，，所以，，所以，，所以是的平分线，是的平分线，所以点是的内心，故选C．8．已知是所在平面上一点，若，则是的( )．A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心8．答案 B 解析 9．P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心9．答案 D 解析 由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥．∴P是△ABC的垂心．10．若为所在平面内一点，且则点是的( )A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心10．答案 D 解析 11．已知是所在平面内一点，且满足，则点 A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上 C．在边的中线所在的直线上 D．是的外心11．答案 A 解析 取的中点，则，，，，，点在边的高所在的直线上，故选A．12．已知为所在平面内一点，且满足，则点的轨迹一定通过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心12．答案 D 解析 ，、，由，得，，即，，则，，．是的垂心．故选D．13．已知，，在所在的平面内，且，且，则，，分别是的 A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心13．答案 C14．点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．14．答案 ①②③④⑤ 解析 对于①，动点满足，，则点是的心，故①正确；对于②，动点满足，，又在的平分线上，与的平分线所在向量共线，的内心在满足条件的点集合中，②正确；对于③，动点满足，，，过点作，垂足为，则，，向量与边的中线共线，因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；对于④，动点满足，，，，的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确；对于⑤，动点满足，设，则，由④知，，，点的轨迹为过的的垂线，即的中垂线；的外心一定在满足条件的点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．考点二 三角形四心的应用【例题选讲】[例2] (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若a＋b＋c＝0，则A＝__________．答案 解析 由G为△ABC的重心知＋＋＝0，则＝－－，因此a ＋b ＋c(－－)＝＋＝0，又，不共线，所以a－c＝b－c＝0，即a＝b＝c．由余弦定理得cos A＝＝＝，又0
