1 不定积分小结 一 、 不定积分基本公式 (1)∫xa dx = xa+1a + 1 + C(a ≠ −1) (2)∫1xdx = ln|x| + C (3)∫ax dx = axlna + C (4)∫sinxdx = −cosx + C (5)∫cosxdx = sinx + C (6)∫tanxdx = −ln|cosx| + C (7)∫cotxdx = ln|sinx| + C (8)∫secxdx = ln|secx + tanx| + C (9)∫cscxdx = ln|cscx − cotx| + C (10)∫sec2 xdx = tanx + C (11)∫csc2 xdx = −cot x + C (12)∫ dx1+x2 = arctanx + C (13)∫ dxx2+a2 = 1aarctanxa + C (14)∫ dxx2−a2 = 12aln|a−xa+x| + C (15)∫ dxa2−x2 = 12aln|a+xa−x| + C (16)∫ 𝑑𝑥√1−𝑥2 = arcsin𝑥 + 𝐶 (17)∫ 𝑑𝑥√𝑎2−𝑥2 = arcsin𝑥𝑎 + 𝐶 (18)∫ 𝑑𝑥√𝑥2±𝑎2 = ln|𝑥 + √𝑥2 ± 𝑎2| + 𝐶 (19)∫√a2 − x2 dx = x2√a2 − x2 + a22 arcsinxa + C (20)∫√x2 ± a2 dx = x2√x2 ± a2 ± a22 ln|𝑥 + √𝑥2 ± 𝑎2| + 𝐶 二 、 两个重要的递推公式 （由分部积分法可得） (1)𝐷𝑛 = ∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥(详情请查阅教材 166 页 ) 则 𝐷𝑛 = −cos𝑥𝑠𝑖𝑛𝑛−1𝑥𝑛 +𝑛 − 1𝑛 𝐷𝑛−2(求三角函数积分 ) 易得 𝐷𝑛： n 为奇数时，可递推至 D1 = ∫sinxdx = −cosx + C； n 为偶数时，可递推至 D2 = ∫sin2xdx = x2 − sin2x4 + C； (2)𝐼𝑛 = ∫ 𝑑𝑥(𝑥2 + 𝑎2)𝑛 (详情请查阅教材 173 页 ) 则 𝐼𝑛+1 = 12𝑛𝑎2 𝑥(𝑥2 + 𝑎2)𝑛 + 2𝑛 − 12𝑛𝑎2 𝐼𝑛 易得 𝐼𝑛可递推至 𝐼1 = ∫ dxx2+a2 = 1aarctanxa + C 迅捷PDF编辑器2 （ 这是有理函数分解后一种形式的 积分的求法 ， 大家 可以回顾课本恢复记忆 ） 三 、 普遍方法 (一 )换元积分法 ： 第一类换元积分法 (凑微分法 ) 这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数 ，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子 例 1： ∫ x√5 + x − x2 dx 注意到分母根号下为二次 ， 其导数为一次 ， 而分子正好就是一次 ， 通过凑微分和 配方可以得到解决 ∫ x√5 + x − x2 dx = ∫−12(−2x + 1) + 12√5 + x − x2 dx = −12∫d(5 + x − x2)√5 + x − x2 +12∫1√5 + x − x2 dx = −√5 + x −x2 + 12∫ dx√(√212 )2 − (x − 12)2= −√5 + x −x2 + 12arcsin(2x − 1√21 ) + C 例 2： ∫ x3x4 + x2 +1dx 与例 1 类似，我们有： ∫ x3x4 + x2 + 1dx = ∫14(4x3 + 2x) −12xx4 + x2 + 1 dx = 14∫d(x4 + x2 + 1)x4 + x2 + 1 −14∫d(x2 + 12)(x2 + 12)2+ (√32 )2 后面套公式就好啦 例 3： ∫ dx1 + sin2x ∫ dxcos2x + 2sin2x = ∫ 1cos2x dx1 + 2tan2x = ∫ d(tanx)1 + 2tan2x 迅捷PDF编辑器3 = 12∫ d(tanx)(√22 )2 + tan2x= √22 arctan(tanx) + C 接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。
例 4： ∫ √x√a3 − x3 dx = ∫ √x32√x√(a32)2− (x32)2d(x32) = 23∫ 1√(a32)2− (x32)2d(x32)至此可以套用公式了 例 5： ∫ 12x + 3dx = ∫12x1 + 32xdx， 注意到 32x 的导数为 − 3ln2 12x ， 至此可以用凑微分法了 例 6： ∫ x1 − xcotxdx = ∫ x sinxsinx − xcosxdx 注意到 sinx − xcosx的导数为 x sinx 第二类换元积分法 （ 1） 利用 三角函数进行代换： sin2x + cos2x = 1 tan2x + 1 = sec2x cot2 x + 1 = csc2x 换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会） 例如以下两个基本积分公式 ∫√a2 − x2 dx = x2√a2 − x2 + a22 arcsinxa +C ∫√𝑥2 ± 𝑎2 𝑑𝑥 = 𝑥2√𝑥2 ± 𝑎2 ± 𝑎22 ln|𝑥 + √𝑥2 ± 𝑎2| +𝐶 例 ： ∫ dx(x2 + 9)3 利用 tan2x + 1 = sec2x， 令 x = 3tant， 这里 x 可以取到全体实数 ， 那么 t 取 (−π2,π2)就可以保证 x 取到全体实数 ， 因为 t 的范围直接影响到三角 函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。
则 ： ∫ dx(x2 + 9)3 = 393 ∫cos4tdt 至此， ∫cos4tdt有多种求法 ，比如说直接用递推公式，见第五页 ： ∫𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥利用 cosx = sin(π2 − x)和 ∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥求得 迅捷PDF编辑器4 令一种解法： ∫cos4tdt = ∫cos2t(1 −sin2t)dt = ∫cos2tdt − ∫cos2tsin2tdt 利用倍角公式可以解出 （ 2）倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下 例 ： ∫√a2 − x2x4 dx， 令 x =1t ， 容易求出原函数 (二 )分部积分法 ∫μdν = μν− ∫νdμ 应用 分部积分法时 ， 需要把被积函数看作两个因式 μ 及 dν 之积 ， 如何 选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁 .积分时应注意 dν 比较好积，同时 μ 的选取应使其倒数比 μ 简单，两者 应 兼顾 例 ： ∫ xearctanx(1 + x2)32dx = earctanx x√1 + x2 − ∫ earctanx(1 + x2)32dx = earctanx x√1 + x2 − [earctanx 1√1 + x2 − ∫−xearctanx(1 + x2)32dx] = earctanx x − 1√1 + x2 − ∫ xearctanx(1 + x2)32dx 则： ∫ xearctanx(1 + x2)32dx = x − 12√1 + x2 earctanx + C 这个函数就有多种拆分方法 ， 需要我们多尝试几次才能解出 ， 并且用到了 轮换 ， 应注意 。
其实 ∫sin(lnx)dx也用到了轮换 ， 详情请 查阅教材 165 页 一般 情况下 ， 被积函数形如 eax sinbx， eax cosbx， Pm(x)eax， Pm(x)sinbx， Pm(x)cosbx， Pm(x)(lnx)n， Pm(x)arctanx， ⋯就可以尝试分部积分法轻松 求得原函数，其中 Pm(x)表示 m 次多项式 迅捷PDF编辑器5 例 xxxex d)1( 2 Cxedexxedxxexdedxxedxxedxxedxxexedxxeexdxxxexxxxxxxxxxxxx11111111)1(1)1(1)1()1()1(2222(三 )特殊函数积分法 1、 有理函数的不定积分 参考教材 171 页有关有理函数分解定理的说明 ，比较繁琐，但要掌握 关键在于将 有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式： (1)∫ b(x − a)m dx(其中 a,b 为常数 ， m 为正整数 ) 当 m = 1 时 ， ∫ b(x − a)m dx = bln|x − a| + C 当 m ≠ 1 时 ， ∫ b(x − a)m dx = b(x− a)−m+1−m +1 + C (2)∫ cx + d(x2 + ax + b)n dx(其中 a,b,c,d 为常数 ， n 为正整数 ) 对于分子，我们可以将其凑为 x2 + ax+ b 的导数和某一常数之和 ， 第一部分容 易求得，第二部分利用 第一页的递推公式： 𝐼𝑛 = ∫ 𝑑𝑥(𝑥2 +𝑎2)𝑛 (详情请查阅教材 173 页 ) 则 𝐼𝑛+1 = 12𝑛𝑎2 𝑥(𝑥2 + 𝑎2)𝑛 + 2𝑛 − 12𝑛𝑎2 𝐼𝑛 易得 𝐼𝑛可递推至 𝐼1 = ∫ dxx2+a2 = 1aarctanxa + C 以下几例用于练习有理式的分解和计算： 迅捷PDF编辑器6 例 1： ∫ dxx3 + 1 例 2： ∫ dxx4 + 1 = ∫ dx(x2 + 1)2 − (√2x)2 = ∫ dx(x2 + 1 + √2x)(x2 + 1 − √2x) 例 3： ∫ dxx6 + 1 (教材 175 页的方法较为简便 ) 2、 三角函数有理式的积分 常用技巧：（ 1）凑微分 例 1： ∫sinmx cosnxdx 若 m和 n都是偶数，利用 sin2x + cos2x = 1将其化为同名函数 。
若 m或 n为 奇数，则拆开一个凑成微分，然后再化为同名函数，之后再利用（二、）中的递推公式 例 2： ∫ cosxsin3x + cos3xdx = ∫ 11 + tan3xd(tanx) 利用已经解得的 ∫ dxx3 + 1的结果 补充一点 ： ∫𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥利用 cosx = sin(π2 − x)和 ∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥求得 ∫𝑡𝑎𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥 = ∫𝑡𝑎𝑛𝑛−2𝑥( 1𝑐𝑜𝑠2 − 1)𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛 − 1 − ∫𝑡𝑎𝑛𝑛−2𝑥𝑑𝑥 这就得到了 ∫𝑡𝑎𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥的递推公式 ， 事实上还可以将其看作 ∫sinmx cosnxdx的特殊形式 ， 只不过 m=-n罢了 ， 当然可以用 ∫sinmx cosnxdx的求解方法 (2)倍角公式、积化和差 例 ： ∫sin5x sin7xdx (3)分项技巧 例 1： ∫ 1sin4x cos2xdx = ∫sin2x +cos2xsin4x cos2x dx = ∫1sin2x cos2xdx + ∫1sin4xdx 至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式， 第二项可以直接套用（二 、 ）中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。
例 2： ∫ dxsin (x + α)sin (x+ β)。