极限解法以及收敛性的判断小结

极限解法以及收敛性的判断小结摘要:极限作为分析学的基础，再数学中具有重要的地位本文简述了一些极限的解法，和其敛散性判断的 方法以及其中包含的一些概念关键词：分析；极限；敛散性；解法A summarize of the solutions of the limit and the judgmentsof convergentHAO Sanqiang(China University of Geosciences College of Engineering Experimental Class of Geo engineering Wu Han 430074)Abstract: As the basement of the analysis, limit is very important in mathematics. This paper lists some solutions of the limit and some concepts of limit included. Some judgments of convergent is also included.Keyword: Analysis; Limit; Convergent; Solutions1极限的解法LI定义：对与简单的函数，先假设极限值再通过利用定义的证明得出极限值。

1.1.1 数列极限：limx = a o Ve > 0, BN > 0: Vn > N ns n1 . M 例：求 lim —sin — ms n 4解： 一 1 1 . n 兀通过观察可假设其值为零，V8 > 0, sin—-n n 4一 「11 1 . n 兀N = 1-1 ，则当n>N时，就有一sin——<8即I n I n 41.1.2 .函数极限:1，要使n >-令81 • M lim — sin — ns n 4lim f (x) = a oVe> 0,BX > 0: V|x| > XxTslim f (x) = a o Ve > 0,BX > 0: Vx > XxT+slim f (x) = a o Ve > 0,BX > 0: Vx <-X 有 |xT-slim f (x) = A o Ve > 0, BS > 0: Vx :0 < |x - a\<8xTalim f (x) = A o Ve > 0, B8 > 0: Vx :0 < x - a <8x-T—alim f (x) = A o Ve > 0,B8 > 0: Vx: -8 < x-a < 0xT+ aIf (x) - a|<8If (x) - a|<8If (x) -a| <8If (x) - a| <8f (x) - a < ef (x) - a < e例：设a是正常数，求limx-ax Ts解：通过观察可假设其值为零，Ve > 0要使|x-a|e-a这说明lim x-a = 0xTs_1，则当 |x| > X 时 x-a -0

《 > 0,3X > 0: V|x| > Xx Slim f (x) = 0 o*> 0,3X > 0: Vx > Xx T+8lim f (x) = 0 oV8> 0,3X > 0: Vx <-X 有 |f (x)<8x T-8lim f (x) = 0 o V8 > 0,38 > 0： Vx :0 < |x - a| <8x—alim f (x) = 0 o V8 > 0,38 > 0: Vx :0 < x - a <8x -——alim f (x) = 0 o V8 > 0,38 > 0: Vx: -8 < x-a <有有0有f (x) <8 f (x) <8|f (x)|<8x—+a分别对放缩的两边求则数列b ｝收敛，n1.2.两边夹定理：对数列(或函数)进行放缩(使两边极限值相等)， 极限，最后得值定义1)：设lim j = limz = a，且当n充分大时y < x < z且 lim x = a I"n n n nn—s n定义2)：若在点a的某个去心邻域内 g G)< f< 面 ，且 lim g 1 )= limh(x)= A 则 lim f G )= A x—a x—ax—a例：求 limn4n + 5n 解：5 = n5n < limn4n + 5n < n5n + 5〃 = 5<2 由两边夹定理n—s n—s可知 lim \' 4n + 5n = 5n—s1.3区间套准则：对于满足闭区间套条件的两数列，可用区间套定理得到极限值。

定义1):称满足下列两个条件的闭区间列bn」为闭区间套，简称区间套：(1) la b Lla , b L …nla , b I'd”…(称 ^a b」｝是渐缩的)1, 1 2 2 n n n, n(2) limG -a )= 0n—s n n定义2):设Cn bn B为实数轴上的闭区间套，则存在唯一的实数E，对任意正整数n， 都有 & cL b ］且 lim a = lim b = & .n, n n—s n n—s n1.4复合函数的极限运算法则：将函数中复杂部分替代为简单的部分，使函数形式简化得值 定义：设lim中(x)= a，但在点t的某去心邻域内中(t)a，又lim f (x)= A，则复合函绑tp (t)］当t —T例：求 lime一x2x—0t -—T x-a时极限也存在，且limf LC^Llimf G)= At -—T x -a解：设t=-二当x—0 t—-s.•.原式变为则°=0x 2 t—-s1.5两个重要极限：利用重要极限进行函数形式的变化，计算极限值sin x .lim = 1x—0 x(1 \ lim|1 + 一 x—sl x J例1):lim3nXT0sin x3n=lims例2)：(n ¥ liml 1 + -XT^I X J=limXS1.6等价无穷小：利用等价无穷小进行函数形式的变化，计算极限值。

常用等价无穷小总结：x T 0. . x 2sinx〜x tanx〜x 1-cosx〜一 x-1 + x —1〜-2 -1ln aax — 1 〜xlna(1 + x)—1 〜ax例：lim^1 = lim = 1xT0 x3 + 3x xT0 3x 6(<1 + x — 1 〜x/2x3 + 3x〜3x )1.7洛必达法则：解决符合不定式形式的极限问题定义1)：(关于0/0型)若函数f (x)、g (x)在点x的某个空心邻域o (x )、 比 lim f (x)= 0, lim g (x)= 0;义，且满足(1) xTx xTx / \八 lim如=A内有导数，而且g (x )0； (3) xt x g仗J f (x )limxtx° g 板)内有定(2)f(X)、g(X)在某个空心邻域任1 (其中A为有限值或为8),则有「f'G) 4=lim = Ax T x0 g k) 定义2)：(关于8/8型)与定义1)相似，故省略例：求极限 lim竺xT x+3 x 4，一 ex ex ex ex ex解：lim — = lim = lim = lim = lim ——=+3x 4 4 x 3 12 x 2 24 x 24xT+3 x xT+3 x xT+3 x xT+3 '二人 xT+31.8泰勒公式：利用泰勒公式将函数合并同类项，求解极限。

泰勒公式/* (x )= f (x )+ f，(x )G — x )+ f 烦)(x 一 x \ + f-R) (x 一 x > + ^x 一 x >) 0002!0 -! 0 0马克劳林公式 f (x )= f (0)+ f GQ+ 池+ • • .M (x) + o(x-)2! - !sin x — x cos x -lim—7 r 例：求极限 xT0 ln( + x)+ x22 — sin x解：ln G + x)= x 一 X% + % + o(x 3 )；sin x = x - x% + oQx cos x = x - x% + o(x 3 )- x3 + osin x 一 x cos x 3 十 olim—-y = lim —x T0 ln(1 + x)+ x2 2 一 sin x xt0 x31.9定积分求极限：利用定积分求解部分特殊极限运用定义与牛顿-莱布尼兹公式)\b f (x )ix = lim Xf G !\x = F (x )1i i a例：求 lim1p + 21二-(p>0)-T3sin x 一 x cos x-p+11 p + 2 p + …nplim nT8np+1=lim1ns n(n V+...一3ri Xp+1 1 1=j1 xpdx = =——0 L p +1」0 p +12.极限敛散性的判断2.1定义：通过定义的直接证明极限的敛散性。

数列、函数极限）例：证明由f G）=lx［构成的极限limf 1）发散x^n证：求f（X）在点左右的极限值分别为n-1与n故可知f（x）在n处无极限故lim f（X）发散x^n2.2单调有界定理：通过证明数列既单调又有界可以证明数列极限收敛数列极限）2.3柯西收敛准则：通过证明满足准则可以证明极限收敛数列、函数极限）2.4海涅定理：证明函数不满足海涅定理来证明其发散（函数极限）参考文献：〔1〕赵晶、李宏伟.《工科数学分析》.中国地质大学出版社2010.9。