数学形态学及其应用 1、起源： 数学形态学（数学形态学（Mathematics MorphologyMathematics Morphology）形成）形成于于19641964年，法国巴黎矿业学院马瑟荣（年，法国巴黎矿业学院马瑟荣（G. G. MatheronMatheron）和其学生赛拉（）和其学生赛拉（J. SerraJ. Serra）从事铁矿核）从事铁矿核的定量岩石学分析，提出了该理论的定量岩石学分析，提出了该理论一、 数学形态学概述 2、发展： 数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科，其基本思想和方法对图像处理的理论和技的学科，其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大的影响目前，形态学图像处理已成术产生了重大的影响目前，形态学图像处理已成为数字图像处理的一个主要研究领域在文字识别、为数字图像处理的一个主要研究领域在文字识别、显微图像分析、医学图像、工业检测、机器人视觉显微图像分析、医学图像、工业检测、机器人视觉都有很成功的应用都有很成功的应用一、 数学形态学概述 3、定义： 数学形态学（数学形态学（Mathematical MorphologyMathematical Morphology）是分析）是分析几何形状和结构的数学方法，它建立在集合代数的基几何形状和结构的数学方法，它建立在集合代数的基础上，是用集合论方法定量描述目标几何结构的学科。
础上，是用集合论方法定量描述目标几何结构的学科 这种结构表示的可以是分析对象的宏观性质，这种结构表示的可以是分析对象的宏观性质，例如，在分析一个工具或印刷字符的形状时，研究的例如，在分析一个工具或印刷字符的形状时，研究的就是其宏观结构；也可以是微观性质，例如，在分析就是其宏观结构；也可以是微观性质，例如，在分析颗粒分布或由小的基元产生的纹理时，研究的便是微颗粒分布或由小的基元产生的纹理时，研究的便是微观结构一、 数学形态学概述 4、形态学研究几何结构的基本思想 利用一个结构元素（相当于模板）去探测一个图像，利用一个结构元素（相当于模板）去探测一个图像，看是否能将这个结构元素很好地填放在图像的内部，同看是否能将这个结构元素很好地填放在图像的内部，同时验证填放结构元素的方法是否有效时验证填放结构元素的方法是否有效 对图像内适合放入结构元素对图像内适合放入结构元素的位置做标记，得到关于图像结的位置做标记，得到关于图像结构的信息这些信息与结构元素构的信息这些信息与结构元素的尺寸和形状都有关构造不同的尺寸和形状都有关构造不同的结构元素，便可完成不同的图的结构元素，便可完成不同的图像分析，得到不同的分析结果。
像分析，得到不同的分析结果B形态学基本运算A一、 数学形态学概述 （一）基本集合定义（一）基本集合定义(1)集合：集合：用大写字母表示，空集记为 (2)元素元素：：用小写字母表示 (3)子集子集：：(4)并集：并集：(5)交集：交集：(6)补集：补集：(7)位移：位移：(8)映像：映像：(9)差集：差集：二、二值数学二、二值数学形态学形态学 （二）（二） 二值形态学基本运算二值形态学基本运算 集合运算：集合运算：• A为图像集合，为图像集合，B 为结构元素（集合）为结构元素（集合）•数学形态学运算是用数学形态学运算是用 B 对对 A 进行操作进行操作•结构元素要指定结构元素要指定1个原点（参考点）个原点（参考点） u膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀u开启和闭合开启和闭合 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 1.膨胀膨胀膨胀的算符为膨胀的算符为 集合集合A 结构元素结构元素B B的映象的映象 集合集合A B 2.腐蚀腐蚀腐蚀的算符为腐蚀的算符为 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 集合集合A A 结构元素结构元素B B 集合集合A A B B 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 3.原点不包含在结构元素中时的膨胀和腐蚀原点不包含在结构元素中时的膨胀和腐蚀原点包含在结构元素中原点包含在结构元素中膨胀运算膨胀运算：：A A B腐蚀运算：腐蚀运算：A B A 原点不包含在结构元素中原点不包含在结构元素中 膨胀运算：膨胀运算：A A B 腐蚀运算：腐蚀运算：A B A，或，或 A B A 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 原点不包含在结构元素中时的膨胀运算原点不包含在结构元素中时的膨胀运算A A B A在膨胀中自身完全消失了在膨胀中自身完全消失了 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 原点不包含在结构元素中时的腐蚀运算原点不包含在结构元素中时的腐蚀运算A B A A B A 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 4.用向量运算实现膨胀和腐蚀用向量运算实现膨胀和腐蚀A = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3), (2, 4)}B = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}A B = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (2, 4), (3, 4), (2, 5)} 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 4.用向量运算实现膨胀和腐蚀用向量运算实现膨胀和腐蚀A = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3), (2, 4)}B = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}A B = {(2, 2), (2, 3)} 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 5.用位移运算实现膨胀和腐蚀用位移运算实现膨胀和腐蚀按每个b来位移A并把结果或（OR）起来 5.用位移运算实现膨胀和腐蚀用位移运算实现膨胀和腐蚀按每个a来位移B并把结果或（OR）起来 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 5.用位移运算实现膨胀和腐蚀用位移运算实现膨胀和腐蚀 按每个b来负位移A并把结果与（AND）起来 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 5.用位移运算实现膨胀和腐蚀用位移运算实现膨胀和腐蚀 按每个a来负位移B并把结果与（AND）起来 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 6.膨胀和腐蚀的对偶性膨胀和腐蚀的对偶性 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 开启和闭合开启和闭合 1.开启和闭合定义开启和闭合定义膨胀和腐蚀并不互为逆运算膨胀和腐蚀并不互为逆运算它们可以级连结合使用它们可以级连结合使用开启：开启：先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果闭合：闭合：先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果开启和闭合不受原点是否在结构元素之中的影响开启和闭合不受原点是否在结构元素之中的影响 开启和闭合开启和闭合 1.开启和闭合定义开启和闭合定义开启运算可以把比结构元素小的突刺滤掉开启运算可以把比结构元素小的突刺滤掉闭合运算可以把比结构元素小的缺口或孔填充上闭合运算可以把比结构元素小的缺口或孔填充上 开启和闭合开启和闭合 开启和闭合开启和闭合 2.开启和闭合的对偶性开启和闭合的对偶性开启和闭合也具有对偶性开启和闭合也具有对偶性 开启和闭合开启和闭合 3.开启和闭合的几何解释开启和闭合的几何解释 （三）二值形态学实用算法（三）二值形态学实用算法 1.噪声滤除噪声滤除先开启后闭合先开启后闭合 腐蚀 膨胀 膨胀 腐蚀 （三）二值形态学实用算法（三）二值形态学实用算法 2.边界提取边界提取先用1个结构元素B腐蚀 A，再求取腐蚀结果和A的差集就可得到边界 b (A)结构元素是8-连通的，而所得到的边界是4-连通的 （三）二值形态学实用算法（三）二值形态学实用算法 3.区域填充区域填充 结构元素是4-连通的，而原填充的边界是8-连通的 （一）（一） 灰度图像的排序灰度图像的排序对灰度图像讨论数学形态学的方法时不仅对灰度图像讨论数学形态学的方法时不仅要考虑空间位置还要考虑灰度的大小。
要考虑空间位置还要考虑灰度的大小一个信号一个信号f (x)的定义域为的定义域为如果对所有的如果对所有的 x 都有都有g(x) ≤ f (x)，就说，就说 g(x) 在在f (x)的下方，并记为的下方，并记为g(x) ≤ f (x) 三、三、 灰度数学形态学灰度数学形态学 （一）灰度图像的排序（一）灰度图像的排序•当且仅当当且仅当D[g] D[f ]且且x属于两个信号的属于两个信号的共同定义域，即当共同定义域，即当x D[g]时，有时，有g(x) ≤ f (x) •图图(a)中中g(x)在在 f (x)的下方的下方•图图(b)中中g(x)不在不在 f (x)的下方的下方•图图(c)中中g(x)不在不在 f (x)的下方的下方 •二值信号：二值信号：交集和并集操作交集和并集操作 •灰度信号：灰度信号：最小和最大操作最小和最大操作 •两个信号两个信号 f (x)和和g(x)的最小值的最小值( f g)(x) 如果如果 x D[f ] ∩ D[g]，那么，那么( f g)(x)是是 f (x)和和g(x)的最小值，否则的最小值，否则( f g)(x) = – •两个信号两个信号 f (x)和和g(x)的最大值的最大值( f g)(x) （一）灰度图像的排序（一）灰度图像的排序 •如果如果 x D[f ] ∩ D[g]，那么，那么( f g)(x)是是 f (x)和和g(x)的最的最大值，否则大值，否则( f g)(x) = – ；；•如果如果x D[ f ] – D[g]，那么，那么( f g)(x) = f (x)；；•如果如果 x D[g] – D[ f ]，那么，那么( f g) (x) = g(x)；；•如果如果x D[ f ] D[g]，那么，那么( f g)(x) = – （一）灰度图像的排序（一）灰度图像的排序 （二）灰度形态学基本运算（二）灰度形态学基本运算 这里运算的操作对象不再看作集合而看作图这里运算的操作对象不再看作集合而看作图像函数：像函数：f (x, y)是输入图像，是输入图像，b(x, y)是结构元素。
是结构元素 u膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀u开启和闭合开启和闭合 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 1.膨胀膨胀Df 和和Db分别是分别是 f 和和 b 的定义域的定义域 膨膨胀胀灰灰度度图图像像的的结结果果是是，，比比背背景景亮亮的的部部分分得到扩张，而比背景暗的部分受到收缩得到扩张，而比背景暗的部分受到收缩 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 1.膨胀膨胀对灰度图像的膨胀操作有对灰度图像的膨胀操作有2类效果：类效果：①① 结构元素的值都为正，则输出图像会比输入图像结构元素的值都为正，则输出图像会比输入图像亮亮②② 暗暗细节的尺寸比结构元素小，其视觉效果会被减弱细节的尺寸比结构元素小，其视觉效果会被减弱 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 2.腐蚀腐蚀Df 和和Db分别是分别是 f 和和 b 的定义域的定义域 腐腐蚀蚀灰灰度度图图像像的的结结果果是是，，比比背背景景暗暗的的部部分分得到扩张，而比背景亮的部分受到收缩得到扩张，而比背景亮的部分受到收缩 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 2.腐蚀腐蚀对灰度图像的腐蚀操作有对灰度图像的腐蚀操作有2 2类效果：类效果：①① 结构元素的值都为正，则输出图像会比输入图像暗结构元素的值都为正，则输出图像会比输入图像暗②② 亮细节的尺寸比结构元素小，视觉效果会被减弱亮细节的尺寸比结构元素小，视觉效果会被减弱 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 膨胀和腐蚀膨胀和腐蚀 3.膨胀和腐蚀的对偶性膨胀和腐蚀的对偶性膨膨胀胀和和腐腐蚀蚀相相对对于于函函数数的的补补（（补补函函数数））和和映射也是对偶的映射也是对偶的补定义为补定义为 f c(x, y) = – f (x, y)函数的映射定义为函数的映射定义为 (x, y) = b (–x, –y) 开启和闭合开启和闭合 用用b（灰度）开启（灰度）开启 f ：：用用b（灰度）闭合（灰度）闭合 f：：开启和闭合的对偶性开启和闭合的对偶性 f c(x, y) = – f (x, y) 开启和闭合开启和闭合 （三）灰度形态学组合运算（三）灰度形态学组合运算 1.形态学梯度形态学梯度形态学梯度能加强图像中比较尖锐的灰度过渡区形态学梯度能加强图像中比较尖锐的灰度过渡区 2.形态学平滑形态学平滑先对图像开启然后再闭合先对图像开启然后再闭合 这这2 2种操作的综合效果种操作的综合效果是去除或减弱亮区和是去除或减弱亮区和暗区的各类噪声暗区的各类噪声 （三）灰度形态学组合运算（三）灰度形态学组合运算 3.高帽（高帽（top-hat）变换）变换使使用用上上部部平平坦坦的的柱柱体体或或平平行行六六面面体体（（像像1 1顶顶高帽）作为结构元素高帽）作为结构元素 增增强强图图像像中中阴阴影影（（暗暗区区））的的细细节节，，同同时时消消除了亮区的细节。
除了亮区的细节 （三）灰度形态学组合运算（三）灰度形态学组合运算 4.形态滤波器形态滤波器非线性信号滤波器非线性信号滤波器一种实现方案是将开启和闭合结合起来一种实现方案是将开启和闭合结合起来（（如如果果用用一一个个小小的的结结构构元元素素先先开开启启再再闭闭合合一一幅幅图图像像，，就就有有可能将图像中小于结构元素的类似噪声结构除去）可能将图像中小于结构元素的类似噪声结构除去）（三）灰度形态学组合运算（三）灰度形态学组合运算 4.形态滤波器形态滤波器筛筛滤滤波波器器：：一一种种允允许许尺尺寸寸在在某某个个窄窄范范围围内内的结构通过的形态滤波器的结构通过的形态滤波器提取尺寸为提取尺寸为n个像素的亮点状缺陷个像素的亮点状缺陷 第第1项项将将尺尺寸寸小小于于n n的的所所有有亮亮结结构构除除去去，，第第2项项将将尺尺寸寸小小于于(n – 2) (n – 2)的的所所有有亮亮结结构构除去除去将将两两项项相相减减，，留留下下其其尺尺寸寸在在n n和和(n – 2) (n – 2) 之间的结构之间的结构 （三）灰度形态学组合运算（三）灰度形态学组合运算 （四）灰度形态学实用算法（四）灰度形态学实用算法 1.背景估计和消除背景估计和消除•开开启启操操作作可可将将比比背背景景亮亮且且比比结结构构元元素素尺尺寸寸小的区域除去小的区域除去•选选取取合合适适的的结结构构元元素素进进行行开开启启可可使使图图像像中中仅剩下对背景的估计仅剩下对背景的估计•从从原原始始图图中中减减去去对对背背景景的的估估计计就就可可将将目目标标提取出来提取出来 1.背景估计和消除背景估计和消除•闭闭合合操操作作可可将将比比背背景景暗暗且且比比结结构构元元素素尺尺寸寸小的区域除去小的区域除去•选选取取合合适适的的结结构构元元素素进进行行闭闭合合可可使使图图像像中中仅剩下对背景的估计仅剩下对背景的估计•从从原原始始图图中中减减去去对对背背景景的的估估计计就就可可将将目目标标提取出来提取出来 （四）灰度形态学实用算法（四）灰度形态学实用算法 2.边缘的形态检测边缘的形态检测形态边缘检测器不会加强或放大噪声形态边缘检测器不会加强或放大噪声•基本的形态梯度基本的形态梯度 给出的边界有两个像素宽 （四）灰度形态学实用算法（四）灰度形态学实用算法 2.边缘的形态检测边缘的形态检测•获得较细边界的形态梯度 第1个/第2个？ 另一个的图？ （四）灰度形态学实用算法（四）灰度形态学实用算法 2.边缘的形态检测边缘的形态检测•对孤立噪声点不敏感的形态梯度 •适用于理想斜面边缘•检测不出理想阶梯边缘•基于模糊图像的形态梯度（四）灰度形态学实用算法（四）灰度形态学实用算法 。