第八章巴拿赫空间上的有界线性算子算子线性算子 非线性算子无界线性算子 有界线性算子§ 1有界线性算子1.1有界线性算子的基本概念与性质定义1・1 设E及E 1都是实（或复的）线性空间，，是 由E的某个子空间D到线性空间E 1中的映射，如果对任意 X, y e D，有T （x + y ）= Tx + Ty则称T是可加的若对任意的实（或复）数a及任意的 x e D，有T GxLaZX则称T是齐次的可加齐次的映射称为线性映射或线性算 子D中使Tx =0的元素X的集合称为T的零空间设E 1是实（或复）数域，于是T成为由D到实（或复） 数域的映射，这时称T为泛函如果T还是线性的，则称T 为线性泛函泛函或线性泛函常用f, g等符号表示定义1・2 设E及E1都是实或复的赋范线性空间，D为E 的子空间，T为由D到E ］中的线性算子如果按照第六章§ 2.3定义2.6, T是连续的，则称T为连续线性算子如果T 将D中任意有界集映成e ］中的有界集，则称T是有界线性算 子如果存在D中的有界集A使得T（A）是E1中的无界集， 则称T是无界线性算子例1将赋范线性空间E中的每个元素x映成x自身 的算子称为E上的单位算子，单位算子常以I表示•将E中 的每个元素x映成的算子称为零算子.容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是 连续线性算子.例2 连续函数的积分f (x )=f x (t )dt是定义在连续函数空间CUb］上的一个有界线性泛函，也是 连续线性泛函.*例1、例2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的・对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理 1.3).定理1・1设E , E 1都是实赋范线性空间，T是由E的 子空间D到E1中的连续可加算子.则T满足齐次性，因此T 是连续线性算子.卡推论 设E, E1都是复赋范线性空间，T是由E的子空间 D到三中的连续可加算子，且T(ix) = iTx，则t满足齐次 性，因此T是连续线性算子.*定理1.2设E，E1都是赋范线性空间，T是由E的子 空间D到E1中的线性算子.则T有界的充要条件是存在 m > 0，使得对一切 x e D，有 |TXFMx||. **定理1・3设E，E1都是赋范线性空间，T是由E的子 空间D到E1中的线性算子.则下列性质等价：(i) T连续；(ii) 丁在原点0处连续；(iii) T 有界.由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在 原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条 件也与在中任一给定的点处的连续性等价.为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引 进一个重要的量一算子的范数.定义1.3设E，E1都是赋范线性空间，T是由E的子 空间D到E1中的有界线性算子•使［pF M ||X|对一切x丘D 都成立的正数M的下确界称为T的范数，记为|T |.因M是集合iFlI : x e D,x >lixi的一个上界，因此算子T的范数T作为所有上界M的下确界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，T是上述集合的最小上界，即上确界，亦即卩II =supx北ex e Dl|TX IIHX||由此容易导出下列结论:(i)对一切xeD，有 - Tlx* (ii)T ” = sup IlT^ II = sup IlTxllxl k i IN 卜 ix e D x e D现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数及如何求出其范数.例3设Jj均为实数，由等式I 二 1,2,…,n)例3设) C j = 1,2厂皿)为一给定的n X n方阵，a..n耳二a gi j jTx = y・它将元素 映成元素y=)・在Rn中任取 gQ,…,gQ?(k = 1,2)由等1 2 n ，由等j=1定义了 一个由Rn到Rn的算子T :x = (g ,g ，・・・，g )1 2x两个向量k另a ©)+◎)卜另a ®)+》a ◎)j 1 沢 j j 丿 j 1 ij j j 1 ij j丿=1 j=1 j=1可知，T是可加的，类似地可以证明T是齐次的，因此T是 线性算子，由柯西不等式，有12<①a 2 ]li,j=1 “丿1212(J丿 Tl<\j J故T有界，因此T连续，且例4 我们用C(-g,g)表示定义在Cg,g)上有界 连续函数构成的集，其中的线性运算与空间CUb］的相同， 在C (—g, g)中定义范数如下：|y|= sup |y(t) (y E C(—g，g))—g Ln 0=》n l (t )k 0=1, x ( )= sgn l ( ) (k = 1，2,…，n)0 k k 0x0中其它点处的值则可以任意，但绝对值不能 C)保证在kb ］上连续•于是(x )()=£ ( )(sgn/ (t ))0 0 \ k 0 k 0)k 0 ~ k 0k=1—aLJI >a由不等式(5)、(6)可得等式(4).例6设K(t, s)是定义a < t < b，a < s < b在上的连 续实函数•在空间CUb］上定义如下的积分算子：yC)= (Tx)()= Jb K(t, s)x(s)dsa则T为C \a, b ］到其自身的有界线性算子，且范数满足T| — max Jba o}.作函数()1 - nd (t, e ) Q Q 丿— (0)n 1 + nd v, e(t)Q (t)= 例7 在连续函数空间CW中讨论微分算子T .dt 将在b」」上连续可微函数构成的集C1R1］作为t的定义 域,则T是定义C1 H1］在上，并在Clo,1］中取值的线性算子. 我们证明T无界.取 x Q= sin nt，则 ||xJ| =1，但n n 11d .(当n u时)sin nt = n cos nt = n dt故T将C1 lo,1!中的单位球面映成C W中的无界集.T无界.。