抛物线顶点坐标的求法（公式法）1、 二次函数表达式的“一般形式”为 ； 李丹与王涓（2019届bobo）2、 二次函数表达式的“配方形式”为 ；一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标1、先把“一般形式”的二次函数y = ax2 + bx + c （ a丰0）转化成“配方形式”为 ，再依据由“配方式”看顶点坐标的方法，可知其顶点坐标为 ，我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”;①、求二次函数y = 2x2—5x + 3的顶点坐标以及最值？b解：由顶点坐标公式得：X =— = 顶横 2a4ac—b 2y = =顶纵 4a ，顶点坐标为 ；又•••抛物线开口向 ，有最 点，••• y有最 值;即：当x = 时， = ； ②、求二次函数y = —2x2 + 12x—13的顶点坐标，并对函数的增减性作出描述?b解：由顶点坐标公式得：x顶横二—2a二顶横 代入函数表达式得：y顶纵二 = ； •顶点坐标为 ；又•••抛物线开口向 ，所以，在对称轴的左侧，即当 自变量x 时，y的值随x的增大而 在对称轴的右侧，即当 自变量x 时，y的值随x的增大而 ③、求二次函数y = —2x2 + 12x—13的顶点坐标、并在当4 < X < 5时，求函数y的最值？b解：由顶点坐标公式得：x顶横=— = ；顶横 2a•可设抛物线的表达式为：y =（）x 》+ k，易求k = ；•原表达式化为配方式为 ，贝y顶点坐标为 又x = ，不在“ 4 < x < 5 ”的范围内，•函数y的最值“不在”顶点处取，顶横ymin由图形可知，当 x =变式：如果把“ 4 < X < 5 ”改为“ 4 < X < 5 ”，问y有最大值吗？答： ；点评：第①题是严格运用“顶点坐标”公式，分别求x市滞和y顶纵（不妨命名为：全求分别法）；顶横 顶纵第②题是先求x ，然后代入函数表达式，再求出y顶纵（不妨命名为：半求代入法）；顶横 顶纵第③题是先求，然后“拼凑”出配方式，再求出y顶纵=k （不妨命名为：半求拼凑法）； 顶横 顶纵以上“三种”方法，请根据实际情况灵活选择，以便于计算作为“选择依据”！！！二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标1、基本事实依据：什么叫抛物线的对称轴？答：第一种说法，经过抛物线的顶点，且垂直于 轴的直线，叫做抛物线的对称轴；第二种说法，抛物线上任意一对“对称点”连线的 线，叫做抛物线的对称轴；2、二次函数的表达式的“交点形式”为y =a6—x］）C—x2）（a丰0）.其中，“a值”与“一般形式” y二ax2 + bx + c（ a丰o）中“a值”的相等，而“ X］、x2” 分别代表抛物线y = ax2 + bx + c（ a丰0）与x轴的交点横坐标，即是说“ X］、x2”是一元二次方 程ax2 + bx + c二0（ a丰0）的二根，所以抛物线的“交点形式”，也可称“二根形式”。
3、重要思路=:如果抛物线y = ax2 + bx + c （ a丰0 ）与x轴有两个交点，分别为A （ X］，0 ）、B （ x2，0 ），那么线段AB的“垂直平分线”必为抛物线的 ，这条对称轴的表达式为:顶横关于这一结论，可以通过举例，来加以理解！）知道了 X顶横’就可以根据表达式y =花—Xi）C —J，利用“半求代入法”，求出“ y顶纵”,岂不快哉！如此一来，也能“又快、有准”地写出“配方形式” y = al + h）2 + k，岂不美哉!①、求二次函数y = 3—1）& + 6）的顶点坐标以及最值，并把解析式化为配方式.解：联立］抛物线：y = 3°—1）" + 6）I X轴：y = 0得：3一+ 6）= 0，解得:•••抛物线的对称轴为：直线x = = ；把X顶横= 代入y = 3°一］）° + 6），得y顶纵= = 顶点坐标为 ，.•.当x = 时， = ；则抛物线的配方形式为 ；②、求抛物线y = —9X2 + 6x—1的顶点坐标，并在—1 < X < 4的范围内，求函数y的最值?③、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价 x（元）满足关系：m二140—2x，（1） 、写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；（2） 、如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多 少?4、提出问题=:如果抛物线y = ax2 + bx + c（ a丰0）与x轴“没有交点”那么怎样由“交点式” 来求抛物线的顶点坐标呢?思路：假设抛物线与平行于x轴的“某条直线”：如y = m有两个交点，（抛物线：y 二 ax 2 + bx + c则联立 \I x车由：y = m得：ax 2 + bx + c = m，即:ax2 + bx + c —m = 0，设此方程的二根为x1由韦达定理可知：x1 + x2 =原始b b原始a a '而点A （ x1，m ）、点B （ x2，m ）必然是抛物线上的一对“对称点”然后把x顶横二—2a代入抛物线表达式y = ax2 + bx + c可得：y顶纵 4ac—b24ax + x•••对称轴为：直线X二1 2 2二-也=x2a 顶横抛物线的顶点坐标为 b启示：无论抛物线与x轴是否有公共点，其顶点横标，即对称轴直线“永远”为：x顶横二-2孑， 再借“三法之一”就可求出顶点的纵坐标！！！三、应用练习1、 函数 y = —X2—3x + 7化为配方式为 ，可知顶点坐标为 ,当X = 时，y有最 值为 ；2、 抛物线y = —Q-3）& + 5）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式为 ，新抛物线的顶点坐标为 ；3、 已知点 A（—6，yi）、B（ —5，y2）、C（ —1，y3）在抛物线 y 二 a。
4上 + k 上,且直线 y = ax经过第二、四象限，试比较y1、y2、y3的大小关系 （用来连接）；4、 抛物线y = 3—6）&—3）的顶点坐标为 ，当自变量x的取值范围满足：2 J X < 5时，函数y的取值范围满足： ；5、 已知抛物线y = ax2 + bx + c的对称轴是直线x = —2，函数y的取值范围是y > —9，则抛物线的开口向 ，若抛物线与y轴的交点坐标是（°，3），则抛物线的表达式为 ，它与x轴的两个交点的坐标为 ；6、 已知抛物线y = ax2 + bx + c与y = 2x2 + X的开口方向相反，开口大小程度一样，且它与直线y二3的两个交点的横坐标分别为—5和—1，则抛物线的表达式为 它与x轴的两个交点的距离为 7、如图，△ ABC中，ZB=9°°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q同时出发，问经过几秒钟厶PBQ的面积最大？最大面积是多少？。