瑕积分的敛散性及审敛法则一、瑕积分的定义定义 /定义在区间(6/上］上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间［",b］u(dj)上有界且可积.如果存在极限lim (f(x)dx = J ,贝I」称此极限为无界函数/在上的反常积分，记作 "Ta”J =并称反常积分［f(x)dx收敛.如果极限lim ［f(x}dx = J不存在，这时也说反常积分［f(x}dx发散.在定义中，被积函数/在点a近旁是无界的，这时点a称为/的瑕点，而无界函数反常积分［i\x)dx又 称为瑕积分.类似地，可定义瑕点为〃时的瑕积分：(f(x)dx=\m『f(x)dx.其中.f在［a,方)有定义，在 山 mb 4?点〃的任一左邻域内无界，但在任何a“］u［Q“)上可积.若f的瑕点e (a上),则定义瑕积分(f{x)clx = f f{x)dx-\- f f(x)dx = lim f f\x)dx+ lim f f(x)dx.v->c』 Ji 」2 W->C"PTC* J其中/在［a,c)u(c,b］上有定义，在点c的任一邻域内无界，但在任何［a.u ］ u ［a,c)和［v.b］ u ［c.b) 上都可积•当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.又若a、b两点都是/的瑕点，而.f在任何［u°］u(a,b)上可积，这时定义瑕积分f f\x)clx = [ f(x)dx + f f (x)dx = lim f /(兀)〃x+ lim f f\x)dx, •L A 丄 乂 UTZ?—」其中c为a“)内任一实数.当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.瑕积分dxVi -x2的值解： 被积函数/(%)=—在［0,1)上连续，从而在任何［0,«］u［0,l)上可积，x = \为其瑕点.依V1-X2定义2求得=limlim arcsin u =—.w->r 2例2讨论瑕积分f —(q > 0)的收敛性.4 xq解： 被积函数在(0,1 )±连续，x = o为其瑕点.由于f竺={百(1'5冃(0<«<1),3 丫" l-ln“.g=l故当0切〈1时，瑕积分⑻收敛，且f — = lim （- = -1—；而当q21 时, 」）xq J/ xq \-q瑕积分⑻发散于+ 00.注：当。
3时，瑕积分(缶=吒于收敛，且而当沖时，瑕积分上缶发散于5二、瑕积分的性质类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限f(x\lx = f f(x)dx的原意写岀相应的命题.lim f定理1瑕积分^f(x)dx (瑕点为a)收敛的充要条件是：任给£>0,存在〃〉0,只要妁、 u2 w (a,a + 5),总有 | ( f(x)dx 一 f /(x)Jx| = | j^2 f(x)dx < £.性质1设函数与人的瑕点同为兀=、k2为常数，则当瑕积分 p, (x)dx与^f2(x)dx ^收敛时, 瑕积分 ^[kj}(x) + k2f2(x)]dx 必定收敛，并有 [kj} (a) + k2f2 (x)]dx = f /i +k2 f2 (x)dx性质2设函数.f的瑕点为x = a, f在(a,方]的任一内闭区问[比®上可积.则当^\fM\dx收敛时 f f (x)dx也必定收敛，并有 f(x)dx < ^\f(x)\dx.性质3设函数/的瑕点为x = a,cw(a,b)为任一常数.贝9瑕积分^f(x)dx与(/(兀)必同敛态，并有 (f (x)dx = J /(x)dx+ | 其中 f\x)dx为定积分.三、瑕积分的收敛判别法当^\f(x)\dx收敛时，称^f(x)dx为绝对收敛.乂称收敛而不绝对收敛的瑕积分是条件收敛定理2设定义在(a,切上的两个函数/与g,瑕点同为x=a,在任何[u,®u(d,S上都可积，且满足|/(兀)|
为其瑕点，且在任何[u,Su(a,b]上可积，则有: —!—，且 p > 1 时,(…)〃推论2设/定义于(讪,d为其瑕点，且在任何［比/"U(d,切上可积.如果lim(x-tz)p|/(x)| = 2, 则有：(i) 当 0 vpvl, 0 < /I < 4-oo 时 (工)收敛；(ii) 当 p>\ , 0 < A < +oo 时 |/(x)|Ja-发散.推论3设定义在(讪上的两个函数/•与g,瑕点同为x = 又若gW〉0,且lim = c , f + g(X)则有：⑴ 当OWcv+oo H寸，由a(x)dx收敛可推知『|/(兀)檢也收敛；(ii)当0 vcW+oo时，由^g(x)dx发散可推知(廿⑴肚也发散.讨论反常积分①(a) = £匚丘的收敛性•1 + x解： 把反常积分①(d)写成：①(d)= 0,山1+兀 6 l+x即a>i时它是定积分；当放1时它是瑕积分，瑕点为x = 0.由于lim兀— = 1,根据定理11.6推论2,当0 v“ = l — dvl,即d〉0且兄=1时，瑕积分/(d)收敛；当 兀 t(T 1 + Xp = \-a^l9 即a<0且2二1 时，/(a)发散.严-】 1(ii)再讨论丿&),它是无穷积分.由于lim A-2'" •-—= lim —— =1,根据定理11.2推论2,当 XT炖 | + X J + %p = 2-a>\,即g<1且兄=1时，《/(&)收敛；而当“ =2 - qWI,即qNI且兄=1时，丿(&)发散.综上所述，把讨论结果列如下表:aa 1/(«)发散收敛定积分J(a)收敛收敛发散①(a)发散收敛发散由此可见,反常积分①(G)只有当0 VQ V 1时才是收敛的.。