数学对象可以用不同的结构来表示

1§5.1 格数学对象可以用不同的结构来表示格就是一种可以用代数或关系来表示的数学对象我们先用代数结构来定义格5.1.1 定义 格 L 是非空集合， 和 是 L 上两个二元运算称为一个格（按习惯将 (x, y)记为 xy，将 (x, y)记为xy， 称为交， 称为并） ，如果 L 满足以下条件：(1) 幂等律 任给 xL，都有xx = x，x x = x2) 结合律 任给 x, y, zB，都有(xy)z = x(yz)，(x y)z = x(yz)3) 交换律 任给 x, yB，都有xy = yx，x y = yx4) 吸收律 任给 x, yB，都有(xy)y = y，(x y)y = y当 , 是已知或不必指出时，简称 L 是一个格由结合律，多个元素作交或并时可以省略括号吸收律刻画了两种运算 和 的关系，由吸收律还能得到以下重要关系5.1.2 定理 L 是格，任给 x, yL，都有xy = x 当且仅当 xy = y证 如果 xy = x，则 y = (xy)y = (xy)(yy) = xy。

如果 xy = y，则 x = (xy)x = (xx)(yx) = xy■以下是格的一些例子25.1.3 例 幂集 P(s)的对于 和 封闭的子集是格，称为集格5.1.4 例 在单元集{a}上定义 和 如下：aa = a，a a = a，则是格，称为单元格单元格上的 和 是唯一的5.1.5 例 正逻辑系统 Pm 的公理是：(1) | ()2) | (())()()3) | 4) | 5) | ()()()6) | 7) | 8) |()()()推演规则是分离规则：从 和 得到 的定义是： ~ =df ()()令 Form 是 Pm 的所有公式的集合，因为在 Pm 中有：(1) | ；(2) 如果|  ，则|  ；(3) 如果|  且|  ，则 | 所以可以在 Form 上定义等价关系 ~如下：~ =df |公式 在等价关系~下的等价类记为 []，取 L 是 Form 在等价关系~下的商集 Form / ~。

因为在 Pm 中有：如果 |且 |，则|，| ，所以可以在 L 上定义 和 如下：[][] = []，[ ][] = []是格，相应的 Pm 逻辑等值式如下：3(1) |，| 2) |()()，| ()()3) |，| 4) |()，| ()更一般地，对于 Pm 的任何扩充系统，都可以用同样的方法定义这样的格5.1.6 定理 L 是格，定义 L 上二元关系 如下：xy =df xy = x，则 是 L 上偏序关系证 (1) 自返性任给 xL，都有 xx = x，因此 xx2) 反对称性任给 x, yL，如果 xy 且 yx，则xy = x 且 yx = y，因此 x = xy = yx = y3) 传递性任给 x, y, zL，如果 xy 且 yz，则xy = x 且 yz = y，所以xz = (xy)z = x(yz) = xy = x，因此 xz。

■由定理 5.1.2，x y 当且仅当 xy = y5.1.7 定理 L 是格， 是如上定义的偏序关系1) 任给 x, yL，都有 xyx 且 xyy2) 任给 x, y, zL，如果 zx 且 zy，则 zxy3) 任给 x, yL，都有 xxy 且 yxy4) 任给 x, y, zL，如果 xz 且 yz，则 xyz证 (1) 因为(x y)x = (yx)x = y(xx) = xy，(xy)y = (xy)y = x(yy) = xy， 2) 如果 zx 且 zy，则zx = z 且 zy = z，4所以z(xy) = (zx)(zy) = zz = z，因此 zxy3)(4) 类似于(1)(2)，使用 xy 当且仅当 xy = y■由定理 5.1.7 可知，在这个偏序关系下，x y 就是{x, y}的上确界，x y 就是{x , y}的下确界设 L 是偏序结构，如果 L 的任何两个元素都有上确界和下确界，在 L 上定义 和 如下：xy = {x, y}的下确界，x y = {x, y}的上确界，则是格。

因此，也可以用任何两个元素都有上确界和下确界的偏序结构来定义格详细定义如下：是关系结构，称为一个格，如果满足以下条件：(1) (xL)(xx)2) (x, yL)(xyyxx = y)3) (x, y, zL)(xyyzxz)4) (x, yL)(aL)(xaya(zL)(xzyzaz))5) (x, yL)(bL)(bxby(zL)(zxzyzb))1)(2)(3)是说是偏序结构，(4)是说任何两个元素都有上确界，(5)是说任何两个元素都有下确界可以证明：(4)中 a 和(5) 中 b 都是唯一的，所以可以在这样定义的格中引进两个二元运算：：L×LL (x, y) = a (由(4)确定的唯一的 a)，：L×LL (x, y) = a (由(5)确定的唯一的 b)，则就是用代数定义的格以下讨论中仍用格的代数定义，但同时使用偏序关系55.1.8 例 全序集的任何两个元素都有上确界和下确界，所以任何非空全序集都可以形成格5.1.9 例 G 是群，L = {H | H 是 G 的子群}， L 在集合的包含关系下是一个偏序集，两个子群 H 和 K 的下确界是 HK，上确界是 HK 生成的子群，所以如果在 L 上定义 和 如下：HK = HK，H K = HK 生成的子群，则是格。

5.1.10 定义 子格 是一个格，S  L，如果是一个格，则称 S 是 L 的子格S  L，S 是 L 的子格的充要条件是：任给 x, yS，都有 xyS 且 xyS5.1.11 例 L 是 L 的子格，不等于 L 的子格称为真子格5.1.12 例 L 是格，a, bL ， ab，令[a, b] = {x | axb}，因为任给 x, y[a, b]，都有axb 且 ayb，由定理 5.1.7 得axyb 且 axyb，所以xy, xy[a, b]因此[a, b]是 L 的子格，称为由 a 和 b 确定的闭子格[ a, a]就是单元格{a}类似地可定义由 a 确定的上开子格[a)= {x | ax}和由 b 确定的下开子格b] = {x | xb}，5.1.13 定理 L 是格， 是 L 的子格的集合，即任给S，S 都是 L 的子格，则：(1) 是 L 的子格6(2) 如果 单调的，则 是 L 的子格■由定理 5.1.13(1)，可定义由 X 所生成的子格 ，其中 = {S | X  S 且 S 是 L 的子格 }。

格的同态和同构就是一般代数结构的同态和同构，格的同态基本定理就是一般代数结构的同态基本定理，简单重述如下：5.1.14 定理 同态基本定理 、是两个格， 是到的满同态取等价关系 如下：ab 当且仅当 (a) = (b)，则 是正规的等价关系，因此可以构造商格 （ 和是商集 L1/上的二元运算） ，使得≌ ■成立分配律的格称为分配格分配律是指：任给 x, y, zL，都有x(yz) = (xy)(xz)，x (yz) = (xy)(xz)5.1.15 例 分配格的子格是分配格5.1.16 例 全序集形成的格是分配格5.1.17 定理 L 是分配格，x, yL如果存在 aL，使得ax = ay，a x = ay，则 x = y证 x = x(ax) = x(ay) = (xa)(xy)= (ya)(xy) = y(ax) = y(ay) = y■集格都是分配格在同构的意义上，分配格都是集格5.1.18 定义 滤 L 是格，F 是 L 的非空子集如果 F 满足：7(1) 任给 x, yL，如果 xF 且 yF，则 xyF；(2) 任给 x, yL，如果 xF 且 xy，则 yF。

则称 F 是 L 的滤5.1.19 定理 L 是格， 是 L 的滤的集合，即任给 F，F都是 L 的滤，则：(1) 是 L 的滤2) 如果 单调的，则 是 L 的滤■如果 X，则由定理 5.1.19 的(1)，可以定义由 X 所生成的滤 ，其中 = {F |  F 且 F 是 L 的滤}，可以证明由 X 所生成的滤是{y | 存在 x1,…, xnX，使得 x1…xny}aL，由{a} 生成的滤就是上开子格[a) F 是 L 的滤， aL，由 F{a}生成的滤是{x | 存在 uI，使得 uax}5.1.20 定义 素滤 L 是格，P 是 L 的真滤如果任给 x, yL，都能从 xyF 推出 xF 或 yF，则称 F 是素滤素滤有以下基本性质5.1.21 定理 L 是格，P 是 L 的素滤，则：(1) 任给 x, yL，都有 xyP 当且仅当 xP 且 yP2) 任给 x, yL，都有 xyP 当且仅当 xP 或 yP证 (1) 如果 xP 且 yP，则 xyP如果 xyP，则由 xyx 得 xP，由 xyy 得 yP。

2) 如果 xyP，则 xP 或 yP如果 xP 或 yP，则由 xxy 和 yxy 得 xyP■5.1.22 定理 L 是分配格，F 是滤，b F，x yF令 F1 是由 F{x}生成的滤，F 2 是由 F{y}生成的滤，则 bF1 或 bF28证 反证法设 bF1 且 bF2，则存在 uF，v F，使得uxb 且 vyb，所以uvxb 且 uvyb，u vF所以(uvx)(uvy)b，由分配律得(uv)(xy)b，因此 bF，矛盾■5.1.23 定理 素滤存在定理 L 是一个分配格，任给 a, bL，如果 ba，则存在素滤 P，使得 aP 且 bP证 令  = {F | F 是滤，aF 且 bF}，由 a 生成的滤[a)，所以 非空，任给  是单调的，则 F = 是滤，并有aF 且 bF，所以 F由 Zorn 引理， 有极大元 P，证明 P 是素滤任给 xyP，令 F1 是由 P{x}生成的滤，F 2 是由 P{y}生成的滤，则由定理 5.1.22 得 bF1 或 bF2，所以 F1或F2，由 P 。