第七章第七章 控制控制ChapterⅫ Control 7.1 引言 7.2 单连杆机械手的控制 7.3 稳态伺服误差 7.4 稳态速度误差 7.5 加速度误差 7.6 多连杆机械手的控制 7.7 伺服参数的计算 7.8 采样数据的伺服速度 7.9 力矩伺服 7.10 本章小结 前几章，我们借助齐次变换阐述了对于包括机械手在内的任何物体的位置和姿态的描述方法研究了机械手的运动学，建立了机械手关节坐标和与直角坐标的位置和速度之间的关系，推导了机械手的动力学方程 本章，我们要根据动力学方程来考虑机械手的控制问题，由于任何机械手的实际控制都是通过对各个关节的协调控制来实现的因此，必须对每一个关节进行有效的控制，控制方法具有一般性本章旨在明确控制中的主要问题，并概要介绍可能的解决方法 7.1 引言引言(Introduction) （7.1） 如果负载加到连杆的末端，就要增加一个等效连杆质量以及等效转动惯量。
表7.1是斯坦福机械手的传动机构与等效连杆惯量 首先，我们考虑一个非常简单的单连杆机械手，这个连杆具有质量及围绕关节轴的转动惯量，而且，由于它的刚性结构，存在着结构谐振频率ωstructural 对于一个设计得很好的机械手，可以做到从空载到满载使惯量的变化为1 ：10因此，如果固有结构谐振频率ω0，是按惯量为J0的情况测定的那么当惯量为另一个值J时，结构频率就由下式确定7.2 单连杆机械手的控制单连杆机械手的控制 (Control of a Single Link Manipulator) 表7.1 斯坦福机械手的传动机构与等效链惯量 关节i Iai Jii空载（min） Jii空载(max) Jii满载(max) 1 0. 953 1. 417 6. 176 9. 572 2. 193 3. 59 6. 95 10. 33 0. 782 7. 257 7. 257 9. 0574 0. 106 0. 108 0. 123 0. 2345 0. 097 0. 114 0. 114 0. 22566 0. 040 0. 04 0. 04 0. 04 机械手各关节由传动机构按齿轮减速比a来驱动。
在直接驱动的情况下，a = 1，在间接驱动的情况下，关节速度是传动机构速度的 1/a ,通过减速齿轮折合过来的传动机构惯量增加到原来的 a2 的倍 沿用上一章中的记号，可以把等效关节惯量Jii 写为 Jii = Dii + Iai (7.2) 其中 Dii 是不计传动机构惯量的关节等效惯量，Iai 是增加 a2 倍以后的传动机构惯量 一般地，传动机构或者是液压装置，或者是电动装置两类传动机构都可以用一个传动增益 km 和一个粘性阻尼系数 F 来描述不考虑库仑摩擦，传动机构的模型为kmF-+ 这个方块图化为标准形式为 H(s)再化简为因而，传动机构与关节的传递函数就成为 （7.3）-R(s)E(s)G(s)F(s)C(s)+R(s)C(s)图中G（s）= km / SJH（s）= F / km 从测速发电机或通过其他方式引来速度反馈，我们就可增加传动机构的固有阻尼，方块图于是变为关节与传动机构的传递函数，在考虑速度反馈后就为kv-+ 如果我们现在设置位置反馈使系统闭环，就有 （7.4）这是一个二阶系统，标准形式为 从而传递函数变为-+ke 上式中ωn 是系统的特征频率（无阻尼自然振荡频率）， 是阻尼比，当 < 1 时的欠阻尼状态，系统具有快速响应，通常情况下伺服系统为实现快速响应而采用的阻尼比范围为 0.3 < < 0.7。
假定我们要操纵机械手把工件放到工作台面上，如果系统有超调，那机械手就会把工件送进工作台的下面，如果工作台是刚性的，势必造成机械手与工作台的相互接触力大大增加，引起机械手和工件的损坏因此在设计控制器时，必须使系统具有无振荡特性，也就是要求系统的阻尼比 > 1当 = 1 时, 系统处于临界阻尼状态，这时能得到最快的无振荡响应，于是由式（7.4）有（7.5） 对于临界阻尼 = 1 ，有(7.6) 为了防止激起结构振荡，保证包括连杆在内的系统稳定，必须把 限制为0.5 根据（7.1）和（7.5） ，用具体的值表示这一限制关系，就得到(7.7) 我们把系统增益 的最大值记为 (7.8) 例如，对于斯坦福机械手，如果我们对连杆的结构频率作一定性估计，再利用表7.1取J的中间值就可以算出系统增益 的实际最大值（见表7.2）表7.2 斯坦福机械手结构频率对位置增益的限制关节1 4 5 7902 6 7 17803 20 7 2760044 15 0. 1 2205 15 0. 1 22066 20 0. 04 1580问题：为什么有这些限制？ 位置伺服增益 为式(7.8)所限，可确定为 速度反馈增益的选择要使系统具有临界阻尼，可由式(7.6)确定，它随惯量的平方根变化 如果选择 ，使得在惯量为J0的情况下，系统具有临界阻尼 那么，由式(7.10)和式(7.11)我们就能对于惯量为任意值的情况求出正确的速度反馈增益值 。
7.9）（7.11）（7.10） 其中（7.12）（7.13） 如果我们不知道等效惯量J，那么 就必须根据惯量的最大可能值来确定在惯量小于最大值的情况，系统处于过阻尼状态(见式（7.5）），这时系统的响应时间相应增加当负载量达到最大值时，系统由过阻尼变为临界阻尼，在无超调情况下响应时间最小如果等效惯量是已知的，那么对于惯量的任何值，通过计算合适的系统增益，都可以保持系统处于临界阻尼状态，从而使系统在惯量小于最大值时，得到较快的时间响应 式(7.9)确定了位置伺服增益 的上界为了定出它的下界，我们必须求取系统的稳态误差这些误差对应于扰动力矩T，在传动机构以及减速齿轮之后，把它们加入系统一个扰动力矩T相当于下列力矩的组合：负载力矩、外力矩、库仑摩擦力矩以及重力负载力矩 加入扰动力矩T后的系统方块图如图7.1所示 7.3 稳态伺服误差稳态伺服误差(Steady State Servo Errors)KeKmF+_+__++T图7.1 系统方框图 图中系统的误差定义为图中系统的误差定义为 ，可由下式确定，可由下式确定 采用终值定理，系统的稳态误差 由下式确定由式（7.14）就得到对应于阶跃输入力矩 T / s 的误差 从上式解出kekm，表示为伺服刚度 T /θe （7.14）（7.15）（7.16）（7.17） 表7.3 斯坦福手对于1牛顿力的位置偏差关节1 0. 54 790 0. 372 0. 50 1780 0. 143 27600 0. 044 0. 25 220 0. 285 0. 25 220 0. 2866 0. 25 1580 0. 04r（m）dx（mm） 表表7.37.3的的第第三三列列指指出出了了斯斯坦坦福福手手每每一一个个关关节节的的最最大大伺伺服服刚刚度度。
对对于于旋旋转转关关节节，，刚刚度度单单位位为为牛牛顿顿米米/ /弧弧度度；；对对于于滑滑动动关关节节，，刚刚度度单单位位为为牛牛顿顿/ /米米为为了了计计算算机机械械手手的的刚刚度度，，我我们们假假定定1 1牛牛顿顿的的负负载载力力加加在在它它的的末末端端机机构构上上，，它它的的每每一一个个关关节节的的有有效效操操纵纵臂臂长长r r列列于于表表7.37.3表表中中最最右右一一列列是是位位置置偏偏差差d dx x , ,单位为毫米单位为毫米 现在考虑库仑摩擦造成的误差力矩，摩擦效应必须在关节开始动作之前就要予以克服我们不太严格地把它表示为一个关节力矩Tstatic一旦关节运动起来，这个力矩的值就降低为Tdynamic，它阻止关节的运动 表7.4给出了斯坦福手的库仑摩擦力矩的测量值Tdynamic可以利用库仑摩擦把伺服过程的重复精度定义为位置误差dx，它造成值为Tdynamic的伺服力矩响应假定机械手的操纵臂长r与计算负载力矩偏差时一样，斯坦福手的重复精度计算结果有如表7.4所示1 0. 54 790 1. 91 1. 312 0. 50 1780 3. 18 0. 893 27600 12. 0 0. 434 0. 25 220 0. 565 0. 645 0. 25 220 0. 635 0. 726 0. 25 1580 0. 424 0. 07表7.4 基于库仑摩擦的伺服重复精度 关节r(m)dx(mm)Tdynamic (n.m) 表7.4列出的重复精度的相当高。
在关节处于运动状态时，为了克服动摩擦，我们可以给关节施加一个前馈力矩Tff，使得重复精度的值再减小一些前馈力矩:(7.18) 在关节处于静止状态时，我们则可以施加一个脉冲力矩（克服静摩擦）在关节处于静止状态时，我们则可以施加一个脉冲力矩（克服静摩擦）来提高重复精度值来提高重复精度值 (7.19) 下面考虑最后一种稳态误差，即由重力造成的误差根据在最大负载情况下的重力负载Tg按照设定的系统增益 以及操纵臂长r，可算出机械手末端机构的位置偏差表7.5以斯坦福手为例，列出了这些位置偏差值 表7.5 基于重力负载的位置偏差 关节1 0. 54 790 0 1. 312 0. 50 1780 69. 3 19. 473 27600 81. 73 2. 964 0. 25 220 5. 54 6. 305 0. 25 220 5. 54 6. 3066 0. 25 1580 0 0r(m)dx(mm)Tg(n.m) 重力负载造成的偏差非常大，但是不会带来任何问题，因为我们已经计算过重力矩Di。
对于任何一个关节，如果它的重力负载偏差必须予以考虑，那我们可以给这个关节的附加一个前馈力矩，其大小与计算的重力负载力矩相等修改了的伺服系统方块图如7.2所示 如果各个关节都带有库仑摩擦补偿和重力负载补偿，那么系统的所有稳态误差就转化为由未知负载或未知外力引起的等价的稳态误差力矩7.20)DiKmF-+Ke++++++++TT static--图7.2 库仑摩擦补偿和重力负载补偿关节伺服 在运动坐标系的情况下，当要求机械手以一个恒定的速度到达工位点时，伺服系统会产生稳态速度误差（注意：所谓稳态速度误差是指由关节速度引起的位置误差）例如与传送带配合工作时，这类误差就比较重要把恒定速度VC的拉普拉斯变换VC/s2 代入式(7.14) ，取极限（见式（7.15）），可求得稳态误差为(7.21) 假定系统为临界阻尼，将有(7.6)代入上式，再利用式(7.10)和(7.1)简化得到 (7.22)7.4 稳态速度误差稳态速度误差(Steady State Velocity Errors) 设传送带的速度为10厘米/秒，斯坦福机械手位于距传送带0.5米处，相应的速度为VC =0.2 厘米/秒。
跟踪误差如表7.6所示表7. 6 斯坦福机械手的跟踪误差关节 1 4 0. 54 17. 192 6 0. 50 10. 613 20 3. 184 15 0. 25 2. 125 15 0. 25 2. 1266 20 r(m)dx(mm) 从表7.6可看出，这些跟踪误差都很大，但是如果根据期望速度提供前馈，这些误差可以减小为零。
原来的伺服方块图中要加上两项；一项克服阻尼系数F的影响，一项克服速度反馈系数Kv的影响修改结果如图7.3所示DiKmF-+Ke++++++++TTstatic+-FS+-图7.3 速度补偿的关节伺服++ 下面考虑由关节加速度造成的位置误差我们先来研究一个非常简单的模型：在前一半运动时间里由正的加速度a起作用，而在后一半运动时间里，负加速度-a起作用总的最大速度v为at/2，总的运动时间为Tt时刻的位置变化 为at2/4 ，运动轨迹形如图7.4所示用t和Δθ表示v和a的求解结果，得到 v = 2Δθ/ t a = 4Δθ/ t27.5 加速度误差加速度误差(Acceleration Errors)（7.23）TT图7.4 运动轨迹Tθ (7.24) 我们再考虑一个速度相当高的运动例如在1秒时间里Δθ=2 弧度/秒 ，这就相当于 v = 4，而 a = 8 ，假定使用速度前馈来消除与速度有关的误差由恒定加速度 a 所引起的稳态误差就相当于θd(s)＝ a/s3 的输入利用这一输入，通过求取极限（见式（7.15））。
我们得到如果加速度为8，θe 的值如表7.7所示 尽管机械手以高速（此处为2米/秒）运动时这些误差并不重要，但是在运动的开始与终了时，它们还是值得重视的如图7.5所示，附加另一个前馈项Js2，就有可能补偿这些误差如果等效关节惯量未知，那么可以取J的最小值构成某个补偿，要是使用J的最大值构成补偿而实际关节惯量却小于最大值，那就会引起超调表7. 7 斯坦福机械手的加速误差关节1 4 0. 54 27. 362 6 0. 50 11. 263 20 2. 034 5 0. 25 0. 905 15 0. 25 0. 9066 20r(m)dx(mm) (7.25) 对于图7.5 所示的系统，误差传递函数为DiKmF-+Ke++++++++TTstatic-FS+-SJii++图7.5 加速度补偿的关节伺服＋＋ 至此，我们一直是在研究单连杆机械手的控制，实际上我们是在研究当机械手所有其他的连杆都锁定时，如何单独控制一个连杆的问题。
如果松开其他的连杆，会发生什么情况呢？这就要考虑三种因素的影响：耦合惯量、向心力以及哥氏力一个关节上加速度与力矩之间的关系是 为了补偿式（7.27）的耦合惯量可有三种做法：或者由式（7.27）算出力矩并把它直接作用在其他关节上，或者用这个力矩对其他关节进行制动，或者把这个力矩与其他关节的实际伺服系统相连如果耦合惯量相当大，Dji≈Jii ，那么可附加一个前馈项（图7.6）来实现7.26)(7.27)考虑到耦合惯量，在所有其他的关节j上同时也有一个作用力矩7.6 多连杆机械手的控制多连杆机械手的控制(Control of Multiple Link Manipulator) 图7.6 带有关节耦合补偿的伺服系统接节到伺其服他系关统来节自伺其服他系关统DiKmF-+Ke++++++++TTstatic-FS+-SJii++DikDij+++＋＋＋＋ 例如，第6章计算过斯坦福机械手关节1与关节2、3之间的耦合惯量，为 给关节1的伺服系统所加的前馈项就应为 对于关节2，应加对于关节3，应加(7.28)(7.29)(7.30)(7.31) 一般说来,我们可以依靠每个关节的伺服系统来提供这些力矩，但如果两个关节的特征频率接近，那就要十分小心，因为它们会产生耦合振荡（谐振）现象。
例如，斯坦福机械手关节1和3之间就没有必要提供补偿 其他要考虑的就是由向心力和哥氏力引起的力矩，这些力矩仅当机械手作高速运动时才会产生而且不影响伺服系统稳定性然而，它们会引起位置误差我们看一下图7.7所示的简单机械手这个机械手按图7.4的轨迹运动，它由两个连杆构成，连杆长度都为r，末端负载为质量m它的运动是在θ1处转过Δθ1的角度结果产生一个力矩rrm图7.7 二连杆机械手 T1是惯性力矩，T2是向心力矩把式(7.23)代入上面两式，得到 而向心力矩与惯性力矩成正比 如果我们象研究加速度误差时一样（见表7.7），在Δθ＝ 2 弧度的情况对两个力矩求值我们就会发现在运动的过程里，当斯坦福机械手以2米/秒的速度运动时，关节2的误差为2厘米，关节3的误差为4厘米，而关节1不受这些力矩的影响除非在高速运动时位置精度比较重要，否则由向心力和哥氏力造成的误差可以忽略 (7.32)(7.33)(7.34) 在上一章，我们给出了求取等效关节惯量、耦合惯量和重力负载惯量的表达式的方法在计算这些式子时，必须知道机械手的负载以及它的各个转动惯量，但是这些条件并不总是能得到的。
假定机械手的工作是拣起一些矿石块在下一章我们就要说明，这时，量测未知负载的质量倒比较简单，而量测它的转动惯量就很难了由于机械手的内关节（靠近基座的关节，如关节1、2、3）的频率响应最低，因而最受负载变化影响的就是这些关节，这一点很重要，因为这些关节对于机械手的位置精度具有极大的影响很幸运，这些关节的等效惯量仅仅根据负载质量就可以计算出来对于机械手的外关节（靠近末端的关节，如关节4、5、6），可以利用它们的惯量最大值，这样引起的过阻尼响应是容许的，因为这些关节具有高频响应，它们对机械手的运动时间不会产生影响 7.7 伺服参数的计算伺服参数的计算(Calculation of Servo Parameters) 象图7.6这样的伺服系统是相当复杂的，许多增益，例如Jii，看起来是常数，实际上是数值运算的结果，伺服系统可以按采样数据系统的形式实现，按模拟系统看待，或者作为这两种形式的组合形式不管哪一个模拟部件，包括最后的功率放大器在内,如果要在伺服闭环中不引入附加的相移，那么它们的频带宽度都必须远大于连杆的结构频率，通常至少15倍以上这样宽的频率对于液压伺服阀来说就成为问题。
按照类似的考虑，如果用采样数据系统来实现闭环，那些模拟部件的采样速率也至少要比连杆的结构频率大15倍，这样，对于斯坦福机械手来说，采样数据系统的采样频率就是300Hz即采样周期为3.3毫秒在采样期间仅仅完成为一个伺服关节所必要的所有计算，都显得时间非常短促，更不用说六个关节了7.8 采样数据的伺服速度采样数据的伺服速度(Sample Data Servo Rate) 在完成装配操作这类任务时，重要的问题在于机械手不但要进行位置控制，而且还要施加力的作用要能做到这一点，可以把位置伺服方式变为力矩伺服方式具体实现时，可在关节的输出转轴上安装一个应变仪提供大小与关节输出力矩成正比的电信号，应变仪的位置在马达和减速齿轮之后，这是因为系统如果存在摩擦，那么应变仪是主要的摩擦源应变仪量测的是关节输出轴的缩口轴段上很短一段截面的扭曲变形，在缩口轴段上，由关节力矩引起的应力可产生一个最大的信号，我们用一个弹性系数ks来表示关节输出轴的刚度，关节力矩与变形dθ的关系为(7.35)7.9 力矩伺服力矩伺服(Troque Servo) 图7.8表示了一个力矩伺服系统，它具有位置伺服系统的形式，把变形dθ作为误差信号，通过式7.35给出的弹性系数ks这一增益转换为一个力矩信号，然后通过功能如同位置误差增益的一个力矩增益kt，将误差信号放大，所用的采样速率与位置伺服系统的情况一样。
该系统与位置伺服系统唯一的差别是，由于关节直接与传动机构相连，因而从关节力矩到伺服电机不存在反馈项在力矩伺服的情况下，我们假定关节端部是固定而不能动的，所以系统的惯量仅仅是电机和减速齿轮相对于输出转轴的惯量 J = IaiksktkvkmTdTe+-+++++-T图7.8 力矩伺服 ＋－ 把图7.8的伺服闭环重画成图7.9所示的形式，我们可以直接得到闭环增益，为 (7.36)特征方程为 (7.37)ksktkvkmTdTe+-++－T++图7.9 等效的力矩伺服图 ＋－ 根据特征方程求得特征频率 和阻尼系数 (7.38)(7.39) 由于系统的特征频率要比机械手的频率高得多，因此弹性系数ks的选择要考虑到连杆的惯量Dii对于内关节来说，由于Dii=Iai ，式(7.38)给出的特征频率至少是连杆结构频率的三倍由于 ，因而力矩伺服系统尽管没有必要维持临界阻尼状态，但是阻尼系数也不能太小，这样就必须采用适当大一些的速度反馈 输入力矩T是系统的摩擦力矩，当它为阶跃输入T/S的形式时，我们很容易得到稳态力矩误差Te 力矩增益kt可以用来减小摩擦的影响，如果用Td表示期望的力矩负载，那么阶跃输入的稳态传递函数To就是 (7.40) 如果伺服带宽在100Hz左右。
考虑到闭环情况，伺服部件的最小带宽为1KHz看来是比较适当的这个带宽远远高于位置伺服系统的相应要求，因而使用模拟部件可能合适一些 (7.41) 当把一个多连杆机械手看作一系列弱耦合的相互独立的伺服系统时，各个关节可以独立地计算耦合惯量，并对加速度进行补偿尽管可以认为伺服系统之间是独立的，但是要考虑不同的等效惯量和负载对系统的影响，因此等效惯量的计算就非常重要，因为这关系到机械手的响应时间以及加速度补偿 反馈增益、伺服带宽是根据摩擦作用和重力负载作用来确定的重要的是要对这些作用的影响进行补偿以便尽可能减小反馈增益以及伺服带宽，这种补偿降低了对于机械手结构刚性的需要，减少了能量输入，加快了速度 向心力和哥氏力仅当机械手高速运动时才发生作用，由于在高速时机械手容许相当大的位置误差，因此它们的影响很小这两种力的影响并不导致伺服不稳定性，而只是引起位置误差和速度误差 为了补偿重力负载的影响，以及计算各个关节的等效惯量，必须知道机械手承受的任何负载的质量及其转动惯量，下一章我们将会看到，我们可以对机械手承受的任何未知负载进行实际的量测7.10 本章小结本章小结(Summary) 。