§3.1 曲面及其相关概念 1. 曲面及其参数表示曲面的坐标形式的参数方程:. 曲面的向量形式的参数方程:, . 简记为, .称为曲面的参数或曲纹坐标．也称是点的参数或曲纹坐标. 例1 (1) 圆柱面cos，sin，z = z,. 其中常数为截圆的半径． 当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标. (2) 球面coscos，cossin，sin，. 这里, 称为经度，称为纬度. 是球面的半径． 当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标. (3) 旋转面把xz平面上一条曲线：x =，绕z轴旋转，得旋转面:x =，y =，． 当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标. (4) 连续函数的图象该曲面的参数方程为. 和是参数(曲纹坐标). 是点的曲纹坐标. 坐标曲线曲线：, 即. 曲线：, 即. 一般地, 通过每一点, 有唯一一条曲线和唯一一条曲线. 曲纹坐标网例2 （1）圆柱面（例1（1））: cos，sin，z = z. （2）球面（例1（2））: coscos，cossin，sin. (3) 旋转面（例1（3））: x =，y =，．(4) 连续函数的图象（例1（4）） 2. 光滑曲面 曲面的切平面和法线在曲面上的(,)点处, u-曲线的切向量, v-曲线的切向量． 定义 曲面的正则点(正常点) P0(,): r(,)和r(,)不平行. 正则曲面: 处处是正则点的曲面. 例 在双叶双曲面的一叶(、和均为正的常数, , )上, 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量;经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量. 由于在上的任何点处, 和不平行, 故上的点都是正则点, 从而是正则曲面. 曲面在正则点的邻域中总可以有形如z = z(x, y)的参数表示．曲面Σ上一点P0处的切方向(方向): Σ上的经过P的曲线Γ在P0的切方向. 曲面：r = r(u, v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参数方程----Γ: u = u(t)，v = v(t).Γ的向量式参数方程:r = r(u(t), v(t)) = r(t). 其切方向(t) = r+ r.也可写为dr = ru du + rv dv. 曲面上正则点处的所有切向量都在经过该点的坐标曲线的切向量r和r所决定的平面上．称此平面为曲面在这一点的切平面． 曲面上一点的一个切方向的表示: du:dv----表方向dr = ru du + rv dv, 也表方向 -dr = -ru du - rv dv. 二者视为同一方向. 例如, du:dv = (-2):3表方向dr = -2ru + 3rv , 也表方向 -dr = 2ru - 3rv . 二者视为同一方向. 例 环面(为常数, )上的点即点. 该点处的切方向表示方向曲面：r = r(u, v)上在点(,)的切平面的方程：(m- r(,)，r(,)，r(,)) = 0，或写成坐标的形式：． 特例 对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有r= {1，0，}，r= {0，1，}. 所以曲面在点(,)的切平面的方程为：. 法方向: 垂直于切平面的方向. 法线: 经过曲面上的一点并平行于法方向的直线. 法向量: n = rr. 单位法向量: n=．曲面的法线方程:m = r(,) +r(,)r(,). 若曲面的坐标形式的参数方程为, 则法线方程为 特例 对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有. 例3 求圆柱面r = {}(为常数)上任意点的切平面和法线的方程．解 因为r=，r={0,0,1}．所以，在任意点的切平面方程为，即.在任意点的法线方程为，即 §3.2 曲面上的双参数活动标架 1. 曲面的双参数活动标架定义曲面：r = r(u, v)的第一基本量E(u, v) = rr，F(u, v) = rr，G(u, v) = rr.令, .根据Lagrange恒等式，有( rr)( rr) = r r－(rr)= EG－F．于是．令由此得到曲面上的正交右手系标架[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)]. 由于它依赖于两个参数u和v, 故称之为曲面的双参数活动标架. 注1 和e所张成的平面就是曲面在一点处的切平面．注2 不要记e2的上述繁琐的表达式. 要计算e2, 首先计算e1和e3 , 然后用直接计算e2 .注3 r和r也可由和e线性表示. 即r=，r= + e. 例1 给出正螺面r ={}(b≠0为常数)上的一个双参数活动标架．解 因为r={cos v, sin v, 0}，r={ -u sin v, u cos v, b}，于是E = rr= 1，F = rr= 0，G= rr=．r={cos v, sin v, 0}，e=(rr)={ b sin v , -b cos v , u},={-u sin v, u cos v , b}. 2. 外微分形式在平面上建立直角坐标系，点的坐标用(u, v)表示. du和dv是坐标的微分．用表示坐标微分之间的外乘运算. 规定dudv = -dvdu,dudu =0,dvdv =0. 设f(u, v)是定义在平面区域D上的函数，则f(u, v)dudv称为D上的以dudv为基底的二次外微分形式．设f(u, v)和g(u, v)都是定义在平面区域D上的函数. 则f(u, v)du + g(u,v)dv称为D上以du和dv为基底的一次外微分形式，也称为发甫（Pfaff）形式．区域D上的函数f(u, v)称为0次外微分形式. 对于两个一次外微分形式，, 和的外乘规定为=.它是一个二次外微分形式. 设都是一次外微分形式. 则（为常数），，，．设D是平面上的一个区域，D上的两个Pfaff形式，和分别对应D上的两个向量场a = {},b = {}. 若它们在D上的每一点处都是线性无关的，则称这两个Pfaff形式线性无关． 设给定平面区域D上的两个Pfaff形式和. 若，，则存在D上的函数f(u, v)，使得. （Cartan引理） 设给定平面区域D上的两个线性无关的Pfaff形式和（即）. 若另有D上的两个Pfaff形式和, 使得, 则存在D上的函数（i,j = 1,2），使得 （i =1,2）,并且（i,j = 1,2）． 外微分运算对于0次外微分形式f(u, v)，定义df(u, v) =；对于一次外微分形式, 定义==.对于二次外微分形式，定义=．注 外微分把外微分形式的次数提高一次． (Poincaré引理) 设为平面区域D上的任意次外微分形式. 则． 设f和g都是0次外微分形式，和都是Pfaff形式. 则d(fg)=(df)g + f(dg)，d(f)=df + fd，d(f)=(d)f - df，d()=0．证明作为练习留给读者． 3 双参活动标架的基本方程给定曲面: r = r(u,v)上的一个双参数活动标架为[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)].设其中和(i,j=1,2,3)都是关于du和dv的Pfaff形式，其系数为(u,v)的函数． 命题 ，. 证明 . . , (i,j=1,2,3)． 根据引理3.2.5, 有,, , .故有双参数活动标架的基本方程其中本质的相对分量是、、、和. 其具体表达式可由下列关系式导出: 例2 确定正螺面r ={u cos v, u sin v, bv}(b≠0为常数)上的双参数活动标架的基本方程中的本质分量.解 由例1, 可知E=1, F=0, G=．所以r={cos v, sin v, 0}，=r={-u sin v, u cos v, b}，e=rr={b sin v, -b cos v, u}.，，.d=d{cos v, sin v, 0}={0,0,0}du +{-sin v, cos v, 0}dv,de=dsin v, -cos v, ={-u sin v, u cos v, b}du + {cos v, sin v, 0}dv. , 注 由于比简单, 所以在计算时, 不用公式. 4. 双参数活动标架的结构方程 5. 双参数活动标架的基本定理 6. 双参数活动标架结构方程的代数认识 在曲面上, 处处有. 其中a、b和c都是和的函数. 例3 对正螺面r ={u cos v, u sin v, kv}, 将其相对分量和用和表示时的系数函数求出来. 解，，., .于是，由,可得.由, 可得. §3.3 曲面上的第一、第二基本形式 设给定曲面: r = r(u, v). 选取双参数活动标架[r；，e，e]. 则称为曲面的第一基本形式. 其中(i=1, 2)是与的通常乘积（不是外微分形式的外乘）. I . 其中、和为曲面的第一类基本量. 设给定曲面：r = r(u, v). 则Ⅱ= -drde称为曲面的第二基本形式. 命题(第二基本形式的几种表达法)Ⅱ=-drde=re==. 证明 微分等式两边, 得re= -drde.于是Ⅱ=re. Ⅱ.Ⅱ. 例2 求圆柱面Σ:r ={,,z}(为常数)的第一基本形式.解 r= r={-,,0}, r= r={0,0,1}.于是,,.,.所以Ⅰ. 例3 求球面r ={,,}(为常数)的第一基本形式.解r= r={-,,0}，r= r={，，}.从而, , .于是，.所以Ⅰ. 例4 正螺面是这样一种曲面, 它是一条动直线的运动轨迹. 该动直线与一条称为旋转轴的定直线垂直相交,并围绕轴作匀速转动, 同时, 动直线还沿轴的方向作匀速直线运动. 求正螺面的第一基本形式.解 取旋转轴为轴，轴的正向与动直线的匀速直线运动方向一致. 以表示旋转时的角速度, 表示作匀速直线运动的速度. 取时的位置为轴. 以表示上的点到轴的有向距离. 于是在时刻, 与轴正向的夹角, . 从而, , . 即, , . 令(常数). 则正螺面有参数方程, , . 从而其向量式方程为.其中和为参数. 故, .从而, , .于是,.所以 Ⅰ. 例5 求球面r ={,,}(为常数)的第二基本形式.解 由例3可知={-,,0}, e={-,-,},e={,,}.,,={-,,0}{,,}, 所以Ⅱ． 例6 。