在前一节，我们利用复合函数的求导法则得到了在前一节，我们利用复合函数的求导法则得到了“换元积分法换元积分法” 但是，但是，对于形如对于形如的积分用的积分用直接积分法直接积分法或或换元积分法换元积分法都无法计算都无法计算. 注意到，注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积都是两种不同类型函数的乘积这就启发我们把两个这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：这就是另一个基本的积分方法：分部积分法分部积分法. 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，8/3/20241 积分得:分部积分公式分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .由导数乘法公式：8/3/20242 第三节 分部积分法 第四章第四章 （（Integration by Parts））例1 求求解解: 令则故原式8/3/20243 解解: 令则故原式 =例2 求求（（P210 例例4））8/3/20244 解解: 令则故原式例3 求求（（ P211例例6））8/3/20245 解解: 令, 则∴ 原式再令, 则故 原式 =说明说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 例4 求求（（ P211 例例7））8/3/20246 把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为例例5 求解解: 令, 则原式 =反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数解题技巧:（（ P210 例例5））8/3/20247 解解: 令, 则原式 =例6 求求8/3/20248 解解: 令则原式令例7 求求（（ P212 例例9））8/3/20249 分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )说明:8/3/202410 的一个原函数是求解解:说明说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.例9 已知已知8/3/202411 本节小结分部积分公式分部积分公式1. 使用原则使用原则 :易求出易求出,易积分易积分2. 使用经验使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前前 u 后后3. 题目类型题目类型 :分部化简分部化简 ;循环解出循环解出8/3/202412 1. 求解解: 令令则则思考与练习8/3/202413 。