教 案授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节课 次1学时数2授课形式（请打√）纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□授课题目 §2.4 无穷小量与无穷大量教学目的理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义；掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量；会运用等价无穷小量求函数的极限教学重点无穷小量与无穷大量教学难点等价无穷小量的判定及其在极限运算中的应用使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件教学方法图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；教学过程设计意图一、复习引入 极限的概念二、无穷小量与无穷大量1、无穷小量 （1）、无穷小量的概念定义2.4 如果当x→（或x →∞ ）时，函f(x)的极限 为零，则称f(x)当x→（或x →∞ ）时是无穷小量，简称无穷小例如，当x→0时， 2x、、sinx都是无穷小量注意1）说f(x)是无穷小，必须指明x的变化趋势，如当x →∞ 时1/x是无穷小。
而当x趋于其他数值时，1/x不一定是无穷小.2）数零是唯一可作为无穷小的常数.（2）、无穷小的性质性质1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量；性质2 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量；性质3 有界函数与无穷小量之积为无穷小量例如，对于，当x→0时，是无穷小量，且由于，即为有界函数，由性质3知是无穷小， 即 （3）、无穷小与函数极限的关系 定理2.2 函数f(x)以常数A为极限的充分必要条件是f(x)可以表示为A与一个无穷小α之和，即: 其中，2、无穷大量定义2.5 如果当x→（或x →∞ ）时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)当x→（或x →∞ ）时是无穷大量，简称无穷大，记作：例如，对于，当x从=1的左边或右边无限趋于1时，f(x)向下或向上无限地远离x轴，因此，当x→1时， 是无穷大量 从这个例子还可以看出，当 x→1 时， x-1是无穷小量，而x-1的倒数是无穷大量一般地，无穷小量与无穷大量有如下关系：无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量例1：求：解：当x→∞时，是无穷小量，而的极限是1根据无穷小量与无穷大量的关系，得：观察第2.2节的例5、例6和本节的例1，可得一般结论：3、无穷小量的比较无穷小量都以零为极限，但是不同的无穷小量趋于零的快慢速度不一定相同.为了说明它们趋于零的快慢程度，我们给出无穷小的阶的概念。
定义2.6 设当x→（或x →∞ ）时，α，β都是无穷小量.（1）如果，则称α是比β较高阶的无穷小量（2）如果，则称α是比β较低阶的无穷小量（3）如果（常数C≠0），则称α和β是同阶无穷小量，特别地，当C=1时称α与β是等价无穷小量，记作α∽β例如，当x→0时x、3x、等都是无穷小量，由于 所以x→0时是比x较高阶的无穷小量；由于所以当x→0时，3x与x是同阶的无穷小量例2 当t→0时，试比较无穷小量解 因为 所以当t→0时是等价无穷小定理2.3 设当x→（或x →∞ ）时，无穷小α∽ α1，β ∽ β1，且 存在，则定理2.3表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母可分别用各自的等价无穷小来代替 常见的等价无穷小有：当x→0时， sinx∽x，tan x∽x，arctanx ∽x，ln(1+x) ∽x，() ∽x，(1-cosx) ∽等等例3：求：解：注意 利用等价无穷小求极限，只能在乘除中使用，不能在加减中使用，否则，就会出现错误的解答：例4：求解：==三、课堂练习： 1、当时，与是否同阶？是否等价？2、求解：==四、小结：理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义，掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量，会运用等价无穷小量求函数的极限。
特别地，用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换），分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换五、作业：P39： 5、8（1）（2）引入无穷小量的概念引入无穷大量的概念无穷小量之间的比较，讲解例题加深学生的理解通过学与做的课堂活动，引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，体验成功整理总结，理清思路，形成牢固的知识链和知识体系通过完成作业，巩固所学内容。