二次函数与拱桥类问题1. 如图〔1〕,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形, 两小孔形状， 大小都相同． 正常水位时,大孔水面宽度 AB=20 米,顶点 M 距水面 6 米〔即 MO=6 米〕,小孔顶点 N 距水面 4.5 米〔即 NC=4.5 米〕．当水位上涨刚好埋没小孔时,借助图 〔2〕的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度 EF．思路点拨： 观看图象可知抛物线的对称轴为 y 轴,顶点为 〔0 , 6〕 ,故设关系式为 ．又由于AB=20 ,所以 OB=10 ,故 B〔10 ,0〕 在抛物线上,代入关系式可求得 a=-0.06 ．第 〔2〕问中当水位上涨到刚好埋没小孔时, OD=4.5 ,即 E，F 两点纵坐标为 4.5,代入关系式求出 E 或 F 点横坐标即可．解： 设抛物线所对应的函数关系式为 ．依题意得 B〔10 , 0〕 在抛物线上,所以 ,解得 , 即 ．当 时, ,解得 x= 5．∴ DF=5 米, EF=10 米． 故水面宽度为 10 米．2. 如图,有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位 AB 时宽 20 米,水位上升 3 米就达到戒备线 CD,这时水面宽度为 10 米.(1) 在如图的坐标系中求抛物线的解析式.(2) 如洪水到来时 . 水位以每小时 0.2 米的速度上升从戒备线开头, 再连续多少小时才能到拱桥顶？3. 一个涵洞成抛物线形,它的截面如图 〔3〕 所示,现测得, 当水面宽 AB＝1.6m 时, 涵洞顶点与水面的距离为 2.4m.这时,离开水面 1.5m 处,涵洞宽 ED是多少 . 是否会超过 1m.4. 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物 , 大门底部宽 AB=4m,顶部 C离地面的高度为4.4m, 现有载满货物的汽车欲通过大门 , 货物顶部距地面 2.7m, 装货宽度为 2.4m. 这辆汽车能否顺当通过大门 . 如能 , 请你通过运算加以说明 ; 如不能 , 请简要说明理由 .4．如图 26 ．3．2,公园要建造圆形的喷水池,在水池中心垂直于水面处安装一个柱子 OA,水流可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离 OA距离为 1m处达到距水面最大高度 2． 25m．（1） 如不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？（2） 如水流喷出的抛物线形状与（ 1）相同,水池的半径为 3．5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达多少米？（精确到 0． 1m）6. 如图,一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为 2.5 米时,达到最大高度 3.5 米,然后精确落入篮圈 . 已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米.(1) 建立如以下图的直角坐标系,求抛物线的解析式.(2) 该运动员身高 1.8 米,在这次跳投中,球在头顶上方 0.25 米处出手,问：球出手时, 他跳离地面的高度是多少？7. 某跳水运动员在进行 10m 跳台跳水训练时,身体（看成一点）在空中的运动路线是如以下图的一条抛物线．在跳某个规定动作时,正常情形下,该运动员在空中的最高处距2水面 10 m,入水处距池边的距离为 4m,同时运动员在距水面高度 5m以前, 必需完成规3定的翻腾动作,并调整好入水姿势时,否就就会显现失误．（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是（ 1）中的抛物线,且运动员在空中调整好3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载入水姿势时,距池边的水平距离为3 m,问此次跳水会不会失误？并通过运算说明理由5可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载思路点拨： 由图所示直角坐标系,可知抛物线经过 O，A， B 三点, O，B 两点的坐标由分析可知 O〔0 ,0〕 ，B〔2, -10〕 ,且 A 的纵坐标为 ,故可设抛物线 ,求得 a， b，c 的值．会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于 5 米,换句话说就是完成动作时所对应的抛物线上的点的纵坐标确定值是否小于 5 米．解： 〔1〕在给定的直角坐标系下,设最高点为 A,入水点为 B,抛物线的关系式为．由题意知, O，B 两点的坐标依次为 〔0, 0〕 , 〔2, -10〕 ,且顶点的纵坐标为 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ 解得 或∵ 抛物线对称轴在 y 轴右侧,∴ ．又∵ 抛物线开口向下,∴ a＜ 0, b＞ 0,∴ , , .∴ 抛物线关系式为 .〔2〕 当运动员在空中距池边的水平距离为 ,即时,.∴ 此时运动员距水面的高为 .因此,此次跳水会显现失误．8. 如图,隧道的截面由抛物线 AED 和矩形 ABCD 构成,矩形的长 BC 为 8m ,宽 AB 为 2m , 以 BC 所在的直线为 x 轴,线段 BC 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系, y 轴是抛物线的对称轴,顶点 E 到坐标原点 O 的距离为 6m ．（1） 求抛物线的解析式.（2） 一辆货运卡车高 4.5m ,宽 2.4m,它能通过该隧道吗？（3） 假如该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有 0.4m 的隔离带, 就该辆货运卡y车仍能通过隧道吗？EA DB O C第 24 题图9. 如图, 某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成, 最大高度为 6 米,底部宽度为 12 米. 现以 O 点为原点, OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . 〔 1〕 直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔 2〕 求出这条抛物线的函数解析式.〔 3〕 如要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB,使 C，D 点在抛物线上, A，B 点在地面 OM 上,就这个“支撑架”总长的最大值是多少？yPD C3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载二次函数最值问题O A第 24 题图B M x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1，在矩形 ABCD 中, AB=6cm ,BC=12cm,点 P 从点 A 动身,沿 AB 边向点 B 以 1cm／s 的速度移动,同时点 Q 从点 B 动身沿 BC 边向点 C 以 2cm／s 的速度移动,假如 P，Q 两点同时动身,分别到达 B，C 两点后就停止移动．（1） 运动第 t 秒时,△ PBQ 的面积 y〔cm2〕是多少？（2） 此时五边形 APQCD 的面积是 S〔cm2〕,写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量的取值范畴．（3）t 为何值时 s 最小,最小值时多少？ 答案：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔1〕 y1 6 t） 2t 2t 2 6t可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（（2） S6 12 （ t 26t） t 26t 7（2 0 t 6）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（3）S （ t3）2 63可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载当t 3时. S有最小值等于 632，小明的家门前有一块空地, 空地外有一面长 10 米的围墙,为了美化生活环境, 小明的爸爸预备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了 32 米长的不锈钢管预备作为花圃的围栏, 为了浇花和赏花的便利, 预备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质） ．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？x解：设花圃的宽为 x 米,面积为 S 平方米就长为： 32 4 x 2 34 4x〔米〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载就： Sx〔344x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载4 x 24〔 x3 4x17 〕 242894可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∵ 0 34 4x 10可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ 6 x 172可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∵ 1746 ,∴ S 与 x 的二次函数的顶点不在自变量 x 的范畴内,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载而当 6 x17 内, S 随 x 的增大而减小,2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴当 x6 时,Smax4〔617 〕24289460 〔平方米〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载答：可设计成宽 6 米,长 10 米的矩形花圃,这样的花圃面积最大．3，某人定制了一批地砖, 每块地砖（如图 〔1〕所示）是边长为 0.4 米的正方形 ABCD, 点 E，F 分别在边 BC 和 CD 上,△ CFE，△ ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料 制成,制成△ CFE，△ ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30 元，20 元，10 元,如将此种地砖按图 〔2〕所示的形式铺设,且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH．(1) 判定图 〔2〕中四边形 EFGH 是何形状,并说明理由.(2) E，F 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省？解： 〔1〕 四边形 EFGH 是正方形．图〔2〕可以看作是由四块图 〔1〕所示地砖绕 C 点按顺〔逆〕时针方向旋转 90后得到的,故 CE=CF =CG．∴△ CEF 是等腰直角三角形因此四边形 EFGH 是正方形．〔2〕设 CE=x, 就 BE=0.4－ x,每块地砖的费用为 y 元那么： y= x 30+ 0.4 〔0.4-x〕 20+[0.16- x - 0.4 〔0.4-x〕 10]可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载10〔x 20.2x0.24〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载10〔x0.1〕 22.3 〔0x 0.4〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载当 x=0.1 时, y 有最小值,即费用为最省,此时 CE=CF=0.1． 答：当 CE=CF=0.1 米时,总费用最省．4. 如以下图, 张强的爸爸想利用一边长为 a m 的旧墙及 24 m 长的旧木料, 建造羊舍 3 间,它们的平面图是一排大小相等的长方形．(1) 假如设羊舍宽为 x m,就羊舍总面积 S〔m2〕与 x〔m〕 有怎样的函。