考点清单知能拓展栏目索引9.3 椭圆高考数学高考数学考点清单知能拓展栏目索引考点一椭圆的定义及标准方程考点一椭圆的定义及标准方程1.定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合语言:P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|,|F1F2|=2c,其中ac0,且a,c为常数.注意若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是线段F1F2;若2ab0);考点清单知能拓展栏目索引(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为+=1(ab0).注意:(1)焦点位置的判断焦点在x轴上标准方程中含x2项的分母较大;焦点在y轴上标准方程中含y2项的分母较大.(2)a2=b2+c2,即a最大.3.焦点三角形(1)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则=b2tan,其中F1PF2=;(2)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则PF1F2的周长为2(a+c).(3)过焦点F1的弦AB与椭圆另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a.考点清单知能拓展栏目索引考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质1.椭圆的方程与简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程+=1(ab0)+=1(ab0)一般方程Ax2+By2=1(A0,B0,AB)图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)考点清单知能拓展栏目索引顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)范围|x|a,|y|b|x|b,|y|a长轴长|A1A2|=2a短轴长|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c离心率e=(0eb0)与直线方程y=kx+h联立消去y,整理成Ax2+Bx+C=0(A0)的形式,则:=B2-4AC直线与椭圆的位置关系0直线与椭圆相交,有两个公共点=0直线与椭圆相切,有一个公共点b0),则(1)点P(x0,y0)在椭圆内+1.2.弦长公式设直线l:y=kx+m与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2).则|AB|=;|AB|=|x1-x2|=;|AB|=(k0).考点清单知能拓展栏目索引注意对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),0,|x1-x2|=.3.弦中点问题设A(x1,y1),B(x2,y2)为弦端点坐标,P(x0,y0)为AB中点,其中k=(x1x2).若椭圆方程为+=1(ab0),则k=-.若椭圆方程为+=1(ab0),则k=-.考点清单知能拓展栏目索引考法一考法一与椭圆定义相关的问题与椭圆定义相关的问题知能拓展知能拓展例例1(1)(2018广东七校二联,15)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为.(2)过点M(0,1)的直线l交椭圆+=1于A、B两点,F为椭圆的右焦点,则ABF周长的最大值为.考点清单知能拓展栏目索引解题导引解题导引(1)应先确定点M的轨迹形状,由于M是随P在圆上运动而变化的,故|PF1|为定值;同时,M还在PF2的垂直平分线上,则|MF2|=|MP|,结合图形可知,|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|为定值,且大于|F1F2|,则M运动形成椭圆.(2)要求ABF周长最值,一种方法是找到取最值的几何位置,另一种方法是建立周长关于变量的函数,从而求最值;结合本题,三边均变化,同时A,B在椭圆上,考虑位置,由于|AB|AF1|+|BF1|,当AB过F1时取“=”,因此ABF的周长|AB|+|BF|+|AF|AF1|+|BF1|+|AF|+|BF|=4a(a为椭圆长半轴的长).考点清单知能拓展栏目索引解析解析(1)如图所示,连MF2,由题意知F2(1,0).直线m是线段PF2的垂直平分线,|MP|=|MF2|,又知|MP|+|MF1|=4,|MF1|+|MF2|=4|F1F2|=2.点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2.b2=3.点M的轨迹方程为+=1.(2)设椭圆的左焦点为F1.如图所示,连接AF1,BF1,由题意,可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(-2,0),F(2,0),a=2,又由椭圆的定义可得|AF|=4-|AF1|,|BF|=4-|BF1|,所以ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|=8+|AB|-(|AF1|+|BF1|),显然|AF1|+|BF1|AB|,当且仅当A,B,F1共线时周长最大,最大值为8.答案答案(1)+=1(2)8考点清单知能拓展栏目索引考法二考法二椭圆离心率问题的求法椭圆离心率问题的求法例例2(1)(2019江西南康中学第二次大联考,10)椭圆G:+=1(ab0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足=0.则椭圆离心率e的取值范围为()A.B.C.D.(2)(2019辽宁重点中学第三次联考,15)已知点P是椭圆+=1(ab0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,已知F1PF2=120,且|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率为.解题导引解题导引(2)求离心率的实质是找a与c的等量关系,结合题设条件中F1PF2的边长及角度关系,运用余弦定理可得到a与c的数量关系,从而求出离心率.考点清单知能拓展栏目索引解析解析(1)解法一:设点M的坐标为(x0,y0),=0,F1(-c,0),F2(c,0),(x0+c)(x0-c)+=0,即+=c2,又知点M在椭圆G上,+=1,由联立结合a2-b2=c2解得=,由椭圆的性质可得0a2,即即所以c2b2,又知b2=a2-c2,c2a2-c2,即2c2a2,解得e2,又知0e1,e1,故选D.解法二:=0,MF1MF2,即MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形,|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,椭圆的离心率e=,又知(|MF1|+|MF2|)22(|MF1|2+|MF2|2)=2|F1F2|2=8c2,考点清单知能拓展栏目索引|MF1|+|MF2|2c,e=,当且仅当|MF1|=|MF2|=c时,等号成立,又知0e1,e.故选D.解法三:如图所示,当M在椭圆的上顶点M0处时,考点清单知能拓展栏目索引由已知条件,知F1M0F290,因此F2M0O45,又M0F2=a,OF2=c.e=sinF2M0O,F2M0O,eb0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.解题导引解题导引考点清单知能拓展栏目索引解析解析(1)由已知,得a=b,则椭圆E的方程为+=1.由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0.方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此时方程的解为x1=x2=2,所以椭圆E的方程为+=1.点T的坐标为(2,1).(2)证明:由已知可设直线l的方程为y=x+m(m0),由方程组可得考点清单知能拓展栏目索引所以P点坐标为,则|PT|2=m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判别式为=16(9-2m2),由0,解得-m0,则直线与椭圆相交;若=0,则直线与椭圆相切;若b0)上两点,弦AB的中点为P(x0,y0),则x0=,y0=,可通过根与系数的关系来解决弦中点问题,这其中的解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”;也可以由用-将问题转化为斜率与中点坐标的关系来解决(称为点差法).4.在直线与椭圆的位置关系问题中,常涉及变量的求值和最值(范围)问题,通常要用方程和函数的思想方法,而恰当地选择函数的自变量至关重要.。