1 §7–1 引言引言 §7–2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力§7–3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力§7–4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面§7–5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心§7–6 考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩第七章第七章 弯曲应力弯曲应力 2 §7§7－１－１ 引言引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q 剪应力t t弯矩M 正应力s s3 平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法、研究方法纵向对称面纵向对称面P1P2例如：4 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲如AB段PPaaABQMxx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):5 §7§7－－2 2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。
一）变形几何规律： （一）变形几何规律： 一、一、 纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴bdacabcdMM6 横截面上只有正应力 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等 （可由对称性及无限分割法证明）3.推 论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层中性轴：中性层与横截面的交线7 4. 几何方程： xA1B1O1Odq qr ry)))) ))OO1))abcdABy8 （二）物理关系： （二）物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压于是，任意一点均处于单项应 力状态s ss s（三）静力学关系： （三）静力学关系： 9 对称面对称面… …(3)EIz 杆的抗弯刚度杆的抗弯刚度10 （四）最大正应力： （四）最大正应力： … …(5)DdDd=abBhH11 横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式 弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力12 例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）C截面1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求C截面的曲率半径xM+McMmax12120180zy解：画M图求截面弯矩30q=60kN/mAB1m2mC13 McMmax12120zy求应力18030q=60kN/mAB1m2mCxM+14 求曲率半径xM+McMmax1212018030q=60kN/mAB1m2mC15 §7§7－－3 3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1、两点假设： 剪应力与剪力平行；距中性轴等距离处，剪应力 相等2、研究方法：分离体平衡 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图c16 dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图c由剪应力互等由剪应力互等17 Qt t方向：与横截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；18 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度①①工字钢截面：工字钢截面：;» »maxA Qt tf结论：结论： 翼缘部分max«腹板上的max，只计算腹板上的max 铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且max≈ min 故工字钢最大剪应力Af —腹板的面积» »maxA Qt tf19 ②②圆截面：③③ 薄壁圆环：④④槽钢：exyzPQeQeh20 §7-4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 • 梁的合理截面梁的合理截面1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处Qt ts ss ss sMt t一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件21 2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。
以后讲）s sMQt tt ts s22 、校核强度：Œ 校核强度：：设计截面尺寸：设计载荷：脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3 3、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：23 4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力24 解：画内力图求危面内力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x25 求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mxM+Q–+x26 分析分析（（1 1）确定危险截面）确定危险截面（（2 2）计算）计算（（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号例例3某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。
已知电葫芦自重某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢已知电葫芦自重材料的许用应力材料的许用应力起重量起重量跨度跨度试选择工字钢的型号试选择工字钢的型号3 3））目录27 （（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（（5 5）讨论）讨论（（3 3）根据）根据计算计算 （（1 1）计算简图）计算简图（（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：40a40a工字钢工字钢目录28 y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度并说明T字梁怎样放置更合理？4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD2.5kNm-4kNmM29 校核强度T字头在上面合理y1y2GA1A2y1y2GA3A4A4A32.5kNm-4kNmM30 一、一、 降低降低 Mmax 1.1.合理安排支座合理安排支座2.2.合理布置载荷合理布置载荷§7-5 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施31 1.合理布置支座合理布置支座FFF32 33 2.2.合理布置载荷合理布置载荷F34 二、二、 增大增大 WZ 1.1.合理设计截面合理设计截面2.2.合理放置截面合理放置截面35 矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比为bh1.1.合理设计截面合理设计截面36 强度：正应力：剪应力：在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaa37 zD0.8Da12a1z38 工字形截面与框形截面类似。
0.8a2a21.6a22a2z39 40 2.2.合理放置截面合理放置截面41 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端如下图：s sGz42 三、等强度梁三、等强度梁 43 44 45 。