江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题

第二章 导数计算及应用 - 23 -第二章第二章 导数计算及应用导数计算及应用本章主要知识点本章主要知识点导数定义复合函数求导,高阶导数,微分隐函数,参数方程求导导数应用一、导数定义一、导数定义函数在处导数定义为 yf x0xxhxfhxfxf h)()(lim)(0000 左导数 hxfhxfxf h)()(lim)(00 0 0右导数 hxfhxfxf h)()(lim)(00 0 0导数 存在有限且)(0xf )(),(00xfxf)()(00xfxf分段点求导必须应用定义两个重要变形：1. 00 0 0( )())lim xxf xf xfxxx（2. 若存在，)(0xf )()()()(lim0000xfnmhnhxfmhxfh例 2.1. 若，求(1)2f  00(1 2 )(5 )lim hfhf xh h解：＝00(1 2 )(5 )lim hfhf xh h( 25)(1)14f  例 2.2. 若求(0)2,(0)0,ff 0(2 )lim1 sin(3 )1xfx x同方专转本高等数学核心教程- 24 -解：＝ 0(2 )lim1 sin(3 )1xfx x00(2 )(0)(2 )(0)48lim2lim(0)1333sin32xxfxffxffxx    例 2.3． 求23,0( )2,0xx xf xxxx(0)f 解： 200(0)(0)0(0)limlim1 hhfhfhhfhh  300(0)(0)2(0)limlim2 hhfhfhhfhh  所以不存在. (0)(0)ff'(0)f例 2.4．，求| |( )2xf x  0f 解： 2 ,0( )2 ,0xxxf xxln20000(0)(0)211ln2(0)limlimlimlimln2hhhhhhfhfehfhhhh    00(0)(0)21(0)limlimln2hhhfhffhh   所以不存在。

0)f 例 2.5． 求21sinsin,0( ) 0,0xxxf xx x  0f 解： 不存在2001sinsinh1(0)limlimsin hhhhfhh 所以 不存在 0f 例 2.6．如果，分析函数在 x=0 处的连续性 12f 2(1)(1 3 ),0ln(1) ( )0,0 (1)(1 2 ),01xfxfxxx f xx fxfxxe 第二章 导数计算及应用 - 25 -解：(00)f 0(1)(1 2 )lim2hfhfh h13(1 ( 2))(1)(1)322ff (00)f 00(1)(1 3 )(1)(1 3 )limlim4(1)8ln(1)hhfhfhfhfhfhh  所以 f(x)在 x=0 处不连续二、复合函数求导、高阶导数、微分二、复合函数求导、高阶导数、微分1．复合函数中的层次关系识别．复合函数中的层次关系识别正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。

下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题例 2.7．1sin(cos )xye由外及里分为四层：y1sincosex例 2.8．ln sin2yxx分为一层： y例 2.9．32sinsintanyxx分为三层：立方ysin x 例 2.10．2sin(ln21yxx 分为四层：ysinln 化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆2、复合函数的求导原则、复合函数的求导原则我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”：“外及里；号变号；则用则；层间乘” 例 2.11．，求，sin32xxy y解：sin22ln2sin3xxyxx 同方专转本高等数学核心教程- 26 -sin32ln2sin3sin3xxxxxxsin32ln2 sin3cos3 3xxxxxgsin32ln2 sin33 cos3xxxxx例 2.12．，求；arctan(sin2 )xyey解：arctan(sin2 ) 22cos2 1 sin 2xxyex 例 2.13．，求；2sinxyxey解：22sinsin()xxyx ex e22sinsin21cos()22xxexexxx2sin21(2cos)2xex xxx例 2.14．，求22sin (ln21)yxx y解： 22 2122sin(ln( 21))cos(ln( 21))(2 )212 21yxxxxxxxx    2 211sin 2ln2122121xxxxxx  分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。

例 2.15．，求 33,0,0xxxf xxxx fx解： 2231,0 31,0xxfxxx   30000limlim1 hhf hfhhfhh   30000limlim1 hhf hfhhfhh，(0)1f 第二章 导数计算及应用 - 27 -综合得， 2231,01,031,0xxfxxxx  例 2.16. ，求 2x af x fx解：2, ( )1, 2,x aa xxa f xxaxa  2ln2,( )2ln2,x aa xxafxxa ，  0021limlimln2hhhf ahf afahh  0021limlimln2hhhf ahf afahh 所以不存在 fa例 2.17. 已知， 21sinsin ,000xxxf xx x （1）求；（2）研究在处的连续性。

 fx fx0x 解：（1）， 2 21112 sincoscosfxxxxxx x 112 sincoscosfxxxxx0x    20001sinsinh010limlim1 lim sin1 hhhhf hfhfhhhh （2）  00011limlim2 sinlimcos1 xxxfxxxx，不存在，  001lim1 limcos xxfxx 故在处不连续，且为 II 类间断 fx0x 同方专转本高等数学核心教程- 28 -3. 高阶导数与微分高阶导数与微分（（1）高阶导数）高阶导数，22d yddyydxdxdx  1nndyydx几个常用公式（1）   11!1nn n nnaaxbaxb（2） sinsin2nnxx（3） coscos2nnxx（4）  nxnxee（5）莱伯尼兹公式     0nnin ii n iuvc u v例 2.18. ，求2xyxe 0y解：222xxyexe 212xyex 22122xxyex e  244xyex  (0)4y 例 2.19. ，求2xyx e 10y第二章 导数计算及应用 - 29 -解：    10102 10 0in iixiycxe 1022090xxxyx exee例 2.20．，求2121 xxy ny解：2121 xxy 21221 5212xx xx 1121 525 21xx    1121 525 21nn nyxx     1111!12255221nn n nnnnxx  ！例 2.21． ，求12lnxy ny解：2 21yx    1 1211 !2 21n nn nny x    1121 !,2 21nnnnn x 例 2.22．，求 xxf2cos  500f解： 22cos1cos2xxxf  12cos 222nnnfxx  22cos21nxn(50)4949(0)2cos(25 )2f 例 2.23．，求 sin5 cos2f xxx ( )nfx解： 1sin7sin32f xxx同方专转本高等数学核心教程- 30 -  117 sin 73 sin 32222nnnnnfxxx（（2）一阶微分）一阶微分定义：对于函数，如果存在常数，使得：)(xfy A00()()()f xxf xA xox 0x 则称在处可微。

)(xf0xx 成立：在可导可微，且 xf0xx 0()dyfx dx可作为微分求解公式 dyfx dx例 2.24．，求sin2yxx2|xdy解：sin22 cos2yxxx ()sincos2y )2dyydxdx 例 2.25．，求xxy2sindy解：，22 cos2sin2xxxyx 22 cos2sin2xxxdydxx例 2.26．，求222,0( ) sin ,0x x exf x xx x 0|xdf解： 0( )(0)(0)lim hf hffh，2220lim0hhh e h，  00( )(0)sinh0limlim0 hhf hfhfhh第二章 导数计算及应用 - 31 -故，所以0)0f 0|00xdydx例 2.27．利用微分近似计算0.05e解：令，xexfxx)(, 0,05. 00则=000.05 00'()xxxeeefxx05. 105. 0114、求导中若干特别问题、求导中若干特别问题（1）奇偶函数导数结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。

例 2.28．f（x）为奇函数， 2)5,( 5)(5)ff例 2.29． f(x)为可导函数，则的导数为（偶函数） )()f xfx（2）1lndxdxx221(ln())xxa xa （3），。