第一节 特征函数,一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布. 本节将要介绍特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具.,关于复数的回顾,复数的一般式：,取角,使得,则,其中,为复数z的模长复数的三角形式,在三角形式下，令,我们有,复数的三角形式在复数的乘除法运算中占有相当 大的优势如考虑,,欧拉公式： 对于任何实数 ，记,则复数的乘除法运算变成,把指数函数推广到复变量的情形,,一、定义,定义1,设ξ、η为实值随机变量，称ζ= ξ+ iη为,复随机变量，这里,称,为ζ的数学期望.,复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和,性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如,具有与实数,学期望类似的性质.,定义2,设ξ为实随机变量，称,,,为ξ的特征函数，这里t是任意实数.,1. 若ξ为离散型，,则,2. 若ξ为连续型，其密度为p (x)，则,它就是函数p(x)的傅里叶变换.,特征函数的计算,二、常见分布的特征函数,例1 退化(单点)分布P(ξ= c) =1的特征函数 f (t) =,例2 二项分布B (n, p) 的特征函数,例3 泊松分布P(λ)的特征函数,例4 均匀分布U [a, b] 的特征函数,特别地 n=1时, 0−1分布的特征函数为,例5 正态分布,的特征函数,例6 指数分布,的特征函数,特别地,标准正态分布的特征函数为,三、性质,性质1,性质2,性质3,设η= aξ+b, a,b是任意常数，则,性质4 若,相互独立,,，,的特征函数为,，则,这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用.,性质5,若,存在，,则f (t) 是n次可微的，且当k≤n时,利用特征函数的性质, 我们很容易求得伽玛分布 和,的特征函数.,伽玛分布,分布,性质6(一致连续性定理) 任何特征函数f (t)在 (−∞, ＋∞)上均一致连续.,性质7 f(t) 是非负定的： 对任意正整数n及任意实数,， 复数,，有,0,这个性质是特征函数的最本质属性之一. 事实上，我们有如下的,波赫纳尔—辛钦(Bochner-Khinchine)定理 函数f (t ) 为 特征函数的充要条件是f (t ) 非负定，连续且f (0) =1.,四、逆转公式与唯一性定理,定理1（逆转公式）,设分布函数F(x)的特征函数为f (t)，又,是F(x)的两个连续点，则,分布函数可由特征函数唯一确定,定理2 (唯一性定理),定理3 (逆傅里叶变换),设f (t)是特征函数，且,则分布函数F(x)的导数存在且连续，此时,对应的随机变量 必为连续型,例7,求证f (t) = cost是某随机变量的特征函数. 并求出它的.,分布函数,f (t) = cost,解,=,这是分布列为,的随机变量的特征函数.,=,一般，若能把f (t)写成,的形式，其中,则f (t)是特征函数，它的分布列为,关于分布函数的可加性,特征函数有很多重要的应用. 比如, 用它来讨论分布函数 的可加性将非常方便.,回忆: 所谓可加性，是指若ξ与η相互独立，服从同一类型分布，则其和ξ+η也服从该类分布，且其分布中的参数是ξ与η的相应参数之和. 可加性也称再生性.,例8 设X和Y分别服从参数为 的泊松分布, 且二者独立,试证X+Y服从参数为 的泊松分布.,X+Y服从参数为 的泊松分布.,大家试着利用特征函数来说明一下表4.1.1中还有那些分布具有可加性?,证明:,由泊松分布的特征函数知,又X与Y相互独立,由性质4知,将结果与泊松分布的特征函数比较并结合唯一性定理即知,,参数为 的泊松分布的特征函数,。