第五节第五节 离散傅立叶变换离散傅立叶变换( (DFT)DFT)的性质的性质一、线性1.两序列都是N点时如果则有：2. 和 的长度N1和N2不等时，选择 为变换长度,短者进行 补零达到N点这里包括三层意思：(1) 先将x(n)进行周期延拓(2)再进行移位(3)最后取主值序列： 二、序列的圆周移位1.定义 一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-1由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来如果把x(n)排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周移位圆周移位当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列 : 2.圆周移位的含义有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移 ， 而对频谱幅度无影响v 时域循环(圆周)移位定理v 频域循环(圆周)移位定理三、共轭对称性 1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量同样，有周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反 对称分量分别定义为:2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量由于所以这表明长为这表明长为N N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。
的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对 称分量分别定义为:3.共轭对称特性之一证明：4.共轭对称特性之二证明：可知：5.共轭对称特性之三证明：6.共轭对称特性之四证明：7.共轭对称特性之五、六8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性9.实、虚序列的对称特性当x(n)为实序列时，根据特性之三，则X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性：当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：总结：共轭对称性纯虚序列的共轭对称性实数序列的共轭对称性例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3)的4点DFT例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3)的8点DFT四、圆周卷积和 1.时域卷积定理设x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列，且 有： 和如果： 则： NN圆周卷积过程：1）补零(当两序列不等长时)2）周期延拓(有限长序列变周期序列)3）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶)4）圆周移位5）相乘相加x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-42 132 132 13……x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-42 132 132 13……nx(-n)0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4……2 13 2 13 2 13x(-n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4……2 13 2 13 2 13例：求下面两序列的6点圆周(循环)卷积。
102nx2(n)13 21）补零补到6点53 45102 3nx1(n)14111102 3m4 56 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-6………………2)周期延拓 N=6102 3mx1(m)14 5102mx2(m)13 23 4513 2 13 2 13 2102m3 456 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-6………………2)周期延拓 N=6102m3 413 2513 2 13 26 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-6………………102m3 413 256 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-6………………13 2 13 2102 3m415116 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-6………………3）翻褶，取主值序列102m13 23 45102m13 23 45y(0)=1*1+3*1=4y(1)=2*1+1*1=3102 3m14 5y(2)=3*1+2*1+1*1=6y(3)=3*1+2*1+1*1=6y(4)=3*1+2*1+1*1=6y(5)=3*1+2*1=54）圆周移位5）相乘相加的长度为的长度为五、有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积它们线性卷积为的非零区间为的非零区间为1012n1012n3两不等式相加得1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 2 1这也就是 不为零的区间x1(n)的长度为N1, x2(n) 的长度为N2 ,现构造长度均 为L长的序列, 即将 x1(n) 和x2(n)补零点;然后再对它 们进行周期延拓 ，得到：2.用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.计算周期卷积：圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓，其周期 为L。
由于 有 个非零值,所以周期L 必须满足:又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列，所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：例：求下面两序列的线性卷积和4点、5点、6点、7点圆周卷积1) 线性卷积 L= N1+ N2-1=5+3-1=71 1 1 1 11 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 11 3 6 6 6 5 3 (2) 4点圆周卷积 主值区间：0≤n≤31 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以4为周期进行周期延拓后再取主值 区间即获得4点圆周卷积结果4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 6+1=7 x(1) = 5+3=8x(2) = 3+6=9 x(3) = 6(3) 5点圆周卷积 主值区间：0≤n≤41 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以5为周期进行周期延拓后再取主值 区间即获得5点圆周卷积结果。
4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 5+1=6 x(1) = 3+3=6x(2) = 6 x(3) = 6x(4) = 6(4) 6点圆周卷积 主值区间：0≤n≤51 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以6为周期进行周期延拓后再取主值 区间即获得6点圆周卷积结果4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 3+1=4 x(1) = 3x(2) = 6 x(3) = 6x(4) = 6 x(5) = 5(5) 7点圆周卷积 主值区间：0≤n≤61 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以7为周期进行周期延拓后再取主值 区间即获得7点圆周卷积结果n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(0) = 1 x(1) = 3x(2) = 6 x(3) = 6x(4) = 6 x(5) = 5x(6) = 3补L-N1个零x(n)L点DFT补L-N2个零h(n)L点DFTL点IDFTy(n) = x(n)*h(n)nz变换法nDFT法L≥N1+N2-1小结：线性卷积求解方法n时域直接求解 。