高中数学第46炼 多变量表达式的范围——消元法一、基础知识：1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域2、常见消元的方法：（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）（2）换元：常见的换元有两种：①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。
因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：推广：平方差：联想到正割（） 与正切（）的平方差为1，则有，推广：注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围3、消元后一元表达式的范围求法：（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值3）三角函数：① 形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值）② 形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解③ 形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围二、典型例题：例1：设实数满足，则的取值范围是__________思路：考虑可用进行表示，进而得到关于的函数，再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围，再求出函数值域即可解： 由及（*）可得：，解得： 小炼有话说：（*）为均值不等式的变形： 例2：已知函数，对任意的，存在，使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 思路：由已知，可得：，考虑进行代入消元，但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值。
所以可以考虑引入新变量作为桥梁，分别表示，进而将变为关于的表达式再求最值解：令 ，设可得且为增函数 在单调递减，在单调递增答案：D例3：设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为 思路：首先要通过取得最小值，得到之间的关系，然后将所求表达式进行消元，再求最值即可解： ①等号成立条件为：，代入到①可得： 的最大值为2例4：已知，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 思路：所求表达式为，考虑消元，由已知可得，从而，达到消元效果，所求表达式为，进而将问题转化为求函数的最值先确定的取值范围，由可得，即，所以，所以当时，答案：A小炼有话说：（1）本题处理的关键在于选择作为核心变量，这是因为在条件中可得到，从而可用表示，使得消元变得可能（2）在处理的最值时，也许会想到均值不等式：，但看一下等号成立条件：并不满足，故等号不成立所以不能使用均值不等式求出最值转而使用二次函数求得最值例5：已知，则的最大值为________解： 设 ，其中 可知当时，答案： 例6：若实数满足条件，则的取值范围是_________思路一：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则思路二：本题也可以考虑利用三角换元。
设，从而原式转化为：，由可知的范围为答案：例7：已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是________解： 为方程的两个根 代入 可得： 设 设 在单调递减 即答案： 例8：对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值是________思路：首先要寻找当最大时，之间的关系，以便于求多元表达式的范围从方程入手，向靠拢进行变形，在利用取得最大值时的关系对所求进行消元求最值解：由可得： （等号成立条件： 最大值是，从而可得：解得：答案：的最小值为例9：已知函数，其中且（1）若，求函数的极值（2）已知，设为的导函数，若存在使得成立，求的取值范围解：（1）由已知可得： 令，即解不等式 解得：或 的单调区间为：的极大值为 的极小值为 （2）由已知可得：即 设 可得当时，恒成立在单调递增，即 例10：已知函数，其中（1）求的单调区间（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值解：（1）当时， 在单调递增当时，在单调递增，单调递减（2）思路：恒成立的不等式为：，即，设，可得：，从而通过讨论的符号确定的单调性，进而求出的最小值（含的表达式），进而将放缩成单变量表达式，求出的最大值解：恒成立的不等式为： 设即由（1）可得：在单调递减 ① 若则 即在上单调递增 ② 若即则 即在上单调递减，而③ 当时，在单调递减，在上单调递增 单调递减 综上所述：的最大值为一、光速解题——学会9种快速解题技法技法1 特例法 在解答填空题时,可以取一个(或一些)特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,失去了推理论证的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种方法. 典例1 (特殊数值)求值:cos2α+cos2(α+120)+cos2(α+240)= .答案 32解析 题目中“求值”二字提供了这样的信息:答案为一定值,于是不妨令α=0,则原式=cos20+cos2120+cos2240=1+14+14=32.典例2 (特殊点)点P为椭圆x225+y29=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2= .答案 1解析 不妨取点P4,95,则S1=3-95(5-4)=65,PD=2,PE=65,所以S2=12265=65,所以S1∶S2=1.典例3 (特殊函数)若函数y= f(x)对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)f(x2)=1成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:①“影子函数” f(x)的值域可以是R;②“影子函数” f(x)可以是奇函数;③若y= f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y= f(x)g(x)是“影子函数”.上述正确命题的序号是 .答案 ②解析 对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)f(x2)=1,所以①错误;对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),取x2=1x1,则f(x1)f(x2)=1,因为函数f(x)=x(x≠0)为奇函数,所以“影子函数” f(x)可以是奇函数,②正确; 对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)=1x(x>0)都是“影子函数”,但F(x)= f(x)g(x)=1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0,+∞),存在无数多个x2∈(0,+∞),使得F(x1)F(x2)=1),所以③错误.典例4 (特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令AB=a,AC=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且AP=ma,AQ=nb,则1m+1n= .(2)如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、下两部分,则上、下两部分的体积之比为 .答案 (1)3 (2)2∶1解析 (1)由题意知结果必然是一个定值,故可利用特殊直线确定所求值.如图,令PQ∥BC,则AP=23AB,AQ=23AC,此时,m=n=23,故1m+1n=3.(2)将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有VC-AA1B=VA1-ABC=VABC-A1B1C13.因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2∶1的上、下两部分.典例5 (特殊图形)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC= .答案 45解析 不妨令△ABC为等边三角形,则cos A=cos C=12,则cosA+cosC1+cosAcosC=45.技法2 换元法 换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典例1 (三角换元)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围是 .答案 [4,12]解析 已知x2+2xy+4y2=6,即(x+y)2+(3y)2=(6)2,故设x+y=6cos α,3y=6sin α,即x=6cos α-2sin α,y=2sin α.则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(6cos α-2sin α)2sin α=8-4sin2α+π6.所以8-4≤z≤8+4,即z的取值范围是[4,12].典例2 (整体代换)函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值是 .答案 -1解析 设t=sin x-cos x=2sinx-π4,则sin xcos x=1-t22,因为x∈[0,π],所以x-π4∈-π4,3π4,所以t∈[-1,2],所以y=t+1-t22=-12(t-1)2+1,当t=-1时,ymin=-1.典例3 (局部换元)设对一切实数x,不等式x2。