福建师范大学21秋《常微分方程》作业三满分答案1. 求证：两复点所定直线与这两点的共轭复点所定直线为两条共轭直线，考虑对偶命题．求证：两复点所定直线与这两点的共轭复点所定直线为两条共轭直线，考虑对偶命题．正确答案：设两复点a、b所定复直线为l则共轭复点应在l的共轭复直线上同理也在上故确定复直线．\r\n 对偶命题：两复直线所交之复点及这两直线的共轭复直线所交之复点为两共轭复点．设两复点a、b所定复直线为l,则共轭复点应在l的共轭复直线上,同理也在上,故确定复直线．对偶命题：两复直线所交之复点,及这两直线的共轭复直线所交之复点,为两共轭复点．2. 设u＝a＋b－2c，v＝－a－3b＋C，试用n、b、c来表示2u－3v．设u＝a＋b－2c，v＝－a－3b＋C，试用n、b、c来表示2u－3v．正确答案：2u－3v＝2(a＋b－2c)－3(－a－3b＋c)＝5a＋11b－7c．2u－3v＝2(a＋b－2c)－3(－a－3b＋c)＝5a＋11b－7c．3. 向量组α1，α2，…，αs的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组. 若向量向量组α1，α2，…，αs的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组. 若向量组α1，α2，…，αs的秩为r，且其中有一个向量可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组？[例] 设α1=(11,13,15),α2=(22,26,30),α3=(1,1,0),α4=(2,0,0),α5=(5，5，0)，可知r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，且α1可以由α2，α3，α5线性表出，但α2，α3，α5不为极大无关组．4. 验证函数y=C1cosωx+C2sinωx(ω，C1，C2是常数)满足关系式： y"+ω2y=0验证函数y=C1cosωx+C2sinωx(ω，C1，C2是常数)满足关系式： y"+ω2y=0y'=-C1sinωx·ω+C2cosωx·ω =-C1ωsinωx+C2ωcosωx， y"=-C1ωcosωx·ω+C2ω(-sinωx)ω =-ω2(C1cosωx+C2sinxω)=-ω2y 所以y"+ω2y=0 5. 已知y=4x^3-5x^2+3x-2，则x=0时的二阶导数y”=( )A.0B.10C.-10D.1参考答案：C6. 函数y=6x-5-sin(e^x)的一个原函数是6x-cos(e^x)。
)A.正确B.错误参考答案：B7. 确定下列方程的阶： (1)yx＋3－x2yx＋1＋3yx＝2 (2)yx－2－yx－4＝yx－2确定下列方程的阶： (1)yx＋3－x2yx＋1＋3yx＝2 (2)yx－2－yx－4＝yx－2正确答案：(1)(x＋3)－x＝3 ∴该方程为三阶差分方程\r\n(2)(x＋2)－(x－4)＝6 ∴该方程为六阶差分方程(1)(x＋3)－x＝3∴该方程为三阶差分方程(2)(x＋2)－(x－4)＝6∴该方程为六阶差分方程8. y=1/(x-2)有渐近线( )A.x=2B.y=2C.x=-2D.x=0参考答案：A9. 对于总体分布的假设检验，一般都使用χ2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为( )． A．离散型分布对于总体分布的假设检验，一般都使用χ2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为( )． A．离散型分布 B．连续型分布 C．只能为正态分布 D．任何类型分布D10. 试证明： 设f:Rn→Rn，且满足 (i)若是紧集，则f(K)是紧集； (ii)若{Ki}是Rn中递减紧集列，则，则f∈C(Rn)．试证明： 设f:Rn→Rn，且满足 (i)若是紧集，则f(K)是紧集； (ii)若{Ki}是Rn中递减紧集列，则，则f∈C(Rn)．[证明] 对x0∈Rn，ε＞0，令B0=B(f(x0)，ε)以及 (m∈N)， 则由(ii)知．又由(i)知Fm=(Rn＼B0)∩(Km)是紧集，且{Fm}是递减列，交集是空集，从而存在m0，使得，即 |f(x)-f(x0)}＜ε，|x-x0|＜1/m0. 这说明x0是f(x)的连续点，证毕． 11. 若同构的群认为是相同的，那么3阶群有______个，4阶群有______个．若同构的群认为是相同的，那么3阶群有______个，4阶群有______个．1$212. 怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分∮LPdx+Qdy+Rdz?怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分∮LPdx+Qdy+Rdz?一般说来，当所给的曲线积∮LPdx+Qdy+Rdz满足下列两个条件时，可考虑用斯托克斯公式进行计算． (1)积分曲线L为一平面与一曲面的交线；(2)比较简单． 13. 设Ai(i=1，2，3，…．n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证设Ai(i=1，2，3，…．n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证(如图所示)因为 ，， 以上各式相加得 由于λ≠2，所以 14. 磷-32的半衰期约为14天，一开始有6.6克．磷-32的半衰期约为14天，一开始有6.6克．磷-32的半衰期约为14天，故磷-32的残余量的函数是 $由解得 x≈38.1， 即大约38天后只剩下1克磷-32了． 15. 设曲线y=e-x(x≥0)， (1)把曲线y=e-x，x轴，y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋设曲线y=e-x(x≥0)， (1)把曲线y=e-x，x轴，y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积V(ξ)；求满足的a． (2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积．这是微分学与积分学的综合题，按步骤逐个求解便可． (1)如下图所示， 易知 ，故从 解出 (2)如下图所示，设A为曲线y=e-x上的切点，则因y'(a)=-e-a，可以求出切线方程为 y-e-a=-e-a(x-a) 令x=0，得切线与y轴交点为(0，(1+a)·e-a)；令y=0，得切线与x轴交点为(1+a，0)，从而切线与坐标轴所围图形面积为 令，得驻点a=1(a=-1舍去)．分析S'(a)的符号可知，S(a)在0＜a＜1时单调增，在a＞1时单调减，故是所求的最大面积． 16. 设f(x+y,x-y)=x2-y2，则，分别为______． (A)y，x (B)2x，2y (C)2x，-2y (D)x，-y设f(x+y,x-y)=x2-y2，则，分别为______． (A)y，x (B)2x，2y (C)2x，-2y (D)x，-yA因为f(x+y，x-y)=x2-y2=(x+y)(x-y)， 所以，f(u，v)=uv，即f(x，y)=xy，从而 ， 故应选(A)． 17. 设函数f(x)在[a，b]上可导，且f(x)＞0，证明：存在一点ξ∈(a，b)，使得设函数f(x)在[a，b]上可导，且f(x)＞0，证明：存在一点ξ∈(a，b)，使得 [证明]令F(x)=lnf(x)，则 因为F(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理的条件，所以，存在一点ξ∈(a，b)，使得 F(b)-F(a)=F'(ξ)(b-a)，即 [分析]将要证的等式变形为 可观察出应构造函数F(x)=lnf(x)，在[a，b]上应用拉格朗日定理． 18. 设简单图Gi=(i=1，2，…，6)，其中V={a，b，c，d，e}， E1={(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)}； E2={(a，b)，(b，e设简单图Gi=i>(i=1，2，…，6)，其中V={a，b，c，d，e}， E1={(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)}； E2={(a，b)，(b，e)，(e，b)，(a，e)，(d，e)}； E3={(a，b)，(b，e)，(e，d)，(c，c)}； E4={(a，b)，(b，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(d，e)}； E5={(a，b)，(b，a)，(b，c)，(c，d)，(d，e)，(e，a)}； E6={(a，a)，(a，b)，(b，c)，(e，c)，(e，d)}． 做出各图，试问：(1)其中图②④⑤是有向图，①③⑥是无向图．$ 图⑤是强连通图，图④是单向连通图，无弱连通图． 19. ∫sin2xdx=( )。
A.(1/2)*cos2x+CB.sinx*sinx+CC.(-1/2)*cos2x+CD.-cosx*cosx+C参考答案：BCD20. 设X是度量空间，f：X→．证明f连续的充要条件是对每个a∈，集合{x∈X：f(x)≤a}与{x∈X：f(x)≥a}都是闭集．设X是度量空间，f：X→．证明f连续的充要条件是对每个a∈，集合{x∈X：f(x)≤a}与{x∈X：f(x)≥a}都是闭集．[证明]方法1 必要性 设f连续，则 {x∈X：f(x)≥a}=f-1([a，∞))与 {x∈X：f(x)≤a}=f-1((-∞，a]) 都是闭集的逆像，从而都是闭集． 充分性 设X的度量拓扑为τρ，上的通常拓扑为τ．由题设有 f-1((-∞，a))=f-1([a，∞)c)=(f-1([a，∞)))c∈τρ f-1((a，∞))=f-1((-∞，a]c)=(f-1((-∞，a]))c∈τρ 从而对c，d∈，c＜d，f-1((c，d))=f-1((c，∞))∩f-1((-∞，d))∈τρ由于每个V∈τ是若干个形如(-∞，a)，(a，∞)，(c，d)类型的开区间之并，故对每个V∈τ，有f-1(V)∈τρ．因此f是连续的． 方法2 令Ga={x：f(x)≤a}，Ha={x：f(x)≥a}． 必要性 设{xn}Ga，xn→x0(n→∞)，则f(xn)≤a．令n→∞，由f连续得f(x0)≤a，故x0∈Ga．这表明Ga是闭集．同理可知Ha是闭集． 充分性 假设f在某点x0∈X不连续，则ε0＞0，n∈，xn∈X，ρ(xn，x0)＜1/n，但f(xn)-f(x0)|≥ε0．于是 xn→x0(n→∞)且 由是闭集得出x0∈，即f(x0)＞≥f(x0)+ε0与f(x0)≤f(x0)-ε0必有一个成立，这是矛盾的．因此f在X上连续． 21. 函数在一点附近有界是函数在该点有极限的( )A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.在一定条件下存在参考答案：D22. 以下数列中是无穷大量的为( )A.数列{Xn=n}B.数列{Yn=。