10.5 波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波一、波的叠加一、波的叠加1、波的叠加原理、波的叠加原理1）两列波在传播过程中相遇，在相遇区域内一质元的）两列波在传播过程中相遇，在相遇区域内一质元的位移等于各列波单独传播时引起该质元位移的和位移等于各列波单独传播时引起该质元位移的和2）两列波分开时仍保持各自原有的特性继续向前传播两列波分开时仍保持各自原有的特性继续向前传播波的独立性叠加原理波的独立性叠加原理波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波二、波的干涉二、波的干涉两束叠加的波在交迭区域某些点处振幅始终最大，另两束叠加的波在交迭区域某些点处振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间者之间，，保持保持不变不变称称这种稳定的叠加图样为这种稳定的叠加图样为干涉干涉现象现象1、波的干涉、波的干涉者之间者之间，，保持保持不变不变称称这种稳定的叠加图样为这种稳定的叠加图样为干涉干涉现象现象2、相干条、相干条件件——得到得到干涉干涉所要求所要求的条的条件件②具②具有有恒恒定的相位定的相位差差; ③③振动振动方方向相向相同同。
①①两波两波源具源具有相有相同同的的频率频率; 满足满足相干条相干条件件的波的波叫叫相干波相干波,波波源叫源叫相干波相干波源源,叠加叠加叫叫相干叠加相干叠加实实现干涉的现干涉的艰难任务是实艰难任务是实现现初初相相差恒差恒定定波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波*如何得到如何得到相干波相干波？？12s1Pn1n2n3图图2分振幅分振幅s2s图图1分波分波阵面阵面波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波设设有两有两个频率个频率相相同同的波的波源源S1和和S2其振动其振动表达式表达式为为3、强、强度计算度计算10101cos()yAtωα=+20202cos()yAtωα=+S1S2S1S2P1r2r1r2r传播传播到到 P 点引起的振动为点引起的振动为：：1111cos()yAtkrωα=−+在在P点的振动为点的振动为2222cos()yAtkrωα=−+12cos()yyyAtωα=+=+——同方同方向向同频率同频率振动振动合成合成波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波222 12122cosΔAAAA Aϕ=++12cos()yyyAtωα=+=+其中其中：：2121Δ()()k rrϕαα=−+−S1S2S1S2P1r2r1r2r合合振动的强振动的强度度为为：：121 22cosΔIIII Iϕ=++对空对空间不间不同同的位置，的位置，都都有有恒恒定的定的∆ϕ，，因因而而,合合强强度度在在空空间间形成形成稳定的分稳定的分布布(干涉特点干涉特点)。
波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波干涉相干涉相长长(强强度度最强点最强点) 2 πn= ±max12AAAA==+max121 22IIIII I==++4、干涉加强、、干涉加强、减减弱条弱条件件0,1,2,3,n =L如如果果2121Δ()()k rrϕαα=−+−12max1,4AAII==如如果果干涉相干涉相消（消（强强度度最弱点）最弱点）min12||AAAA==−min121 22IIIII I==+−(21)πn=±+12min,0AAI==如果如果0,1,2,3,n =L2121Δ()()k rrϕαα=−+−振幅相等时干涉现象最振幅相等时干涉现象最明显明显波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波2 12122 12122,,()(21) ,,()nAAA IIInAAAIIIπ∆ϕ π=+=+=+=−=−当当两相干波两相干波源源为为同同相波相波源源时，时，12αα=2122(21)2n rr nλδλ =−= +波程波程差差[例题例题] 如如图，两图，两个个相干波相干波源源S1和和S2相相距距L=9m，振动，振动频率频率 为为ν=100Hz ，，S2的相位的相位比比S1超超前前2/π，波，波源源S1 和和S2发出发出的两的两简谐简谐波的波波的波速速u=400m/s，， 问：问： 在在S1和和S2的的连线上连线上，， 哪哪些点两些点两简谐简谐波的振动相波的振动相互互加强加强？？哪哪些点两些点两简谐简谐波的振动相波的振动相互减互减弱弱？（？（包括包括S左侧左侧、、 例题例题哪哪些点两些点两简谐简谐波的振动相波的振动相互减互减弱弱？（？（包括包括S1左侧左侧、、 S1和和S2之间和之间和S2右侧右侧各点）各点） L1S2SPPP解：解：21212()rrπϕααλ∆=−−−21212()rruπναα=−−− （（1））P点在点在1S左侧左侧，，Lrr=−122100 942400ππϕπ⋅⋅∆=−= − 例题例题24001S左侧所左侧所有的点两有的点两简谐简谐波的振动相波的振动相互互加强加强 L1S2SPPP（（2））P点在点在S1和和S2之间，之间，xLrr212−=− (92 ) 22xππϕ−∆=− 令令πϕ∆k2=得：得：振动加强的点为振动加强的点为 42+=kx（（21012、、、、−−=k）） 例题例题42+kx（（21012、、、、k）） 令令πϕ∆）（12+=k得：得：振动振动减减弱的点为弱的点为 52+=kx（（21012、、、、−−=k）） L1S2SPPPxL- x（（3））P点在点在2S右侧右侧，，Lrr−=−122100 952400ππϕπ⋅⋅∆=+= 2S右右侧所侧所有的点两有的点两简谐简谐波的振动相波的振动相互减互减弱弱。
例题例题2S右右侧所侧所有的点两有的点两简谐简谐波的振动相波的振动相互减互减弱弱 L1S2SPPP波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波1、、形成形成驻波驻波 ——沿沿相相反方反方向传播的两列向传播的两列等幅相干波等幅相干波的叠加三三、驻波、驻波波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波弦弦驻波驻波（横（横驻波）驻波）实验上观测到实验上观测到的驻波的驻波波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波气体火焰气体火焰驻波驻波（纵（纵驻波）驻波）波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波2、定、定量计算量计算() ()12coscosyAtkxyAtkxωω=−=+设设12yyy=+则则(2cos)cosAkxtω=振幅振幅因子因子谐谐振振因子因子2πkλ=Q2π(2cos)cosyAxtωλ=波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波(1)驻波驻波是是各点振幅不各点振幅不同同的的简谐简谐振动的振动的集体集体2π(2cos)cosyAxtωλ=波波腹腹—— 振幅振幅取取最大最大值值 kxλ= ±0,1,2,k =L2π2cos2AxA=2x = ±0,1,2,k =L2cos2AxAλ=波波节节—— 振幅为振幅为零零。
波波节节处的质元处的质元静止静止不动2π2cos0Axλ=(21)4xkλ= ±+0,1,2,k =L相相邻邻两波两波腹腹间间或或两波两波节节间的间的距距离均离均为为半半个个波波长长. 波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波(2)相位相位相相邻邻波波节节的的坐标坐标(21)kxkλ=+1(23)kxkλ+=+波波节节波波腹腹λ/2λ/2(21)4kxk=+1(23)4kxk+=+2π2cosAxλ代入代入振幅振幅因子因子中中得得2πππ2kxkλ=+12π3ππ2kxkλ+=+相相邻邻波波节节间各间各体体元元余余弦同弦同号号，，即即具具有相有相同同的相位波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波相相邻邻波波腹腹的的坐标坐标2kkxλ=11 2kkxλ++=波波节节波波腹腹λ/2λ/2代入代入驻波驻波方方程中程中中中得得2π(2cos)cosyAxtωλ=(2cos π)coskyAktω=1[2cos(1)π]coskyAktω+=+(2cos π)cos(π)Aktω=+相相邻邻两波两波腹腹的相位相的相位相反反波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波两相两相邻邻波波节节之间的各质元振动相位相之间的各质元振动相位相同同，，每每一波一波节节两两侧侧各质元的振动相位相各质元的振动相位相反反。
相位特点相位特点在在波波节节处处产生产生ππ的的相位相位跃跃变xyo2λ2λ−波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波3*、驻波的、驻波的能能量量没没有有能能量量的定向传播的定向传播 Why?()2k1dd2yEVtρ∂=∂2 2 p1ddyEuVρ∂=∂2π(2 cos)cosyAxtωλ=代入代入左式左式pdd2EuVxρ∂2222 k2πd2dcos ()sinEVAxtρωωλ=22222 p2π2πd2d() sincosEVAxtρωωλλ=动动能与势能能与势能相位相相位相反反0=t势能势能4λ波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波波波节静止节静止波波腹附近腹附近无无形形变变主主要要以势能以势能形式形式储存储存在波在波节节处处波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波能能量量由由波波节节向波向波腹流腹流动动势能势能→动动能能Ep↓Ep↓E ↑0=t势能势能能能量量由由波波节节向波向波腹流腹流动动Ek↑瞬瞬时位移为时位移为0，，动动能能最大势能势能为为0，，4Tt=动动能能波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波4Tt=动动能能动动能能→势能势能Ep↑Ep↑Ek↓2Tt=势能势能驻波相驻波相邻邻的波的波节节和波和波腹腹之间的之间的λ/4区域，区域，构构成成一一个个独立的振动独立的振动体体系系，，能能量量只只在该区域内在该区域内流流动。
动能能量量由由波波腹腹向波向波节流节流动动动动能能→势能势能波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波4、、半半波波损失损失1Z2Z入射入射波波反反射射波波透射透射波波12ZZ>12ZZ若若(波波疏疏→波波密密介质介质)：：12zz反反射射波和波和入射入射波引起波引起界界面面质点的振动质点的振动同同相211212Az zzA=+110A A′透射透射波和波和入射入射波引起波引起界界面面质点的振动质点的振动总总是同是同相波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波固固定定端端自自由端由端波的叠加和干涉波的叠加和干涉·驻波驻波小小结结透射透射波波没没有有半半波波损失损失反反射射波波以下几以下几种种情况存情况存在在半半波波损失损失1Z2Z入射入射波波12ZZ反反射射点为波点为波腹腹反反射端射端为自为自由端由端例题例题[例题例题] 平平面简谐面简谐波波 t 时时刻刻的波的波形如形如图，波图，波速速为为 u ，，沿沿x 方方向传播，振幅为向传播，振幅为A，，频率频率为为 f 1) 以以D 为原点，为原点，写写出出波波函数；函数；(2) 以以 B 为为反反射射点，点，且且为波为波节节，，若以若以 B 为为 x 轴坐标轴坐标原点，原点，写写出出入射入射波，波，反反射射波波方方程程；；(3) 以以B 为为反反射射点点求合成求合成波，波，并并分分析析波波节节，波，波腹腹的位置的位置坐标坐标。
BDuvx..例题例题( , )cos[2π ()π]xy x tAf tu=−+π( , )cos[2π ()]2xyx tAf tu=−−入入 π( , )cos[2π ()]2xyx tAf tu=−+反反解解 (1)(2)(3)π( , )2 cos 2π)cos2πxy x tyyAfft=入入反反＋＋＝＝（（＋＋(3)( , )2 cos 2π)cos2π2y x tyyAfftu入入反反＋＋（（＋＋=2 sin2πcos2πxAfftu−sin2π1xfu=波波腹腹21 4kxλ+=1, 2, 3k= − − −L波波节节sin2π0xfu=2kxλ=01, 2, 3k=− − −L，，例题例题[例题例题] 在在弦线上弦线上有一有一简谐简谐波，其波，其表达式表达式为为：：2 1。