24.1.2垂直于弦的直径 导学案 2022—2023学年人教版数学九年级上册引入这个单元中我们主要研究圆形和它的一些特性的性质，其中一个重要的性质是垂直于弦的直径，我们将在这里介绍这个概念并探究一些相关性质以及应用垂直于弦的直径在圆内，以圆心为端点的线段叫做直径，我们已经学过圆的直径是圆上最长的线段，这里我们引出垂直于弦的直径的概念假如我们在圆上取一条弦，那么垂直于这条弦的直线就是这条弦的垂线而当我们找到这条弦的垂线时，我们会发现它恰好和圆心在一条直线上，那么这条和圆心垂线就是圆的直径画个图帮助理解： A | | ------O------- | | B如上图所示，O 为圆心，AB 为弦，AC 垂直于 AB，那么我们可以发现 OC 恰好是圆的直径值得一提的是，当我们取任意一条弦，不论弦的长度，垂直于这条弦的直径都过圆心这个性质对于我们理解弦和圆直径在空间上的位置关系非常有帮助垂线中点定理接下来我们探讨一下垂直于弦的直径和垂线之间的关系我们记弦的两个端点为 A、B，垂线与弦的交点为 C，圆心为 O，垂线中点为 D。
那么我们可以发现，垂线长 AC 与长 BC 相等，同时 AD=BD，也就是说 D 是 CD 的中点我们可以用勾股定理证明这个结论： A | | ------O------- | | B C | | D那么有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²因为 AC = BC，所以AD² + CD² = BD² + CD²同时移项：AD² - BD² = 0即(AD- BD)(AD+BD) = 0因为 AD 不等于 BD，所以AD + BD = 0也就是AD = BD那么 D 是 CD 的中点这个定理对于我们后续的推导非常重要，需要记住用垂直于弦的直径解决问题有了垂直于弦的直径和垂线中点定理的概念，我们就可以利用这个性质来解决一些问题了比如，当我们需要求圆心到弦的距离时，可以通过画垂线的方法来解决，简单证明一下： A | | ------O------- | | B C | | D F | | | E如上图所示，我们记圆心到 AB 的距离为 EF，记弦的中点为 F，那么我们只需要证明 EF = FC。
证明如下：因为 O 是圆心，而 OD 垂直于 AB，所以 OD 就是 AB 的垂线那么根据垂线中点定理，可以知道 DO = FC同时因为三角形 ADO 与三角形 BCO 相似（同样角，对边成比例），所以AD : AC = OD : FC那么可以推出：AC × OD = AD × FC还可以进一步推导出EF = FC因为 F 是弦 AB 的中点，所以可以根据勾股定理得到：FC²=FA²+AC²同样可以得到：EF²=OA²+OE²而因为三角形 ADO 与三角形 BCO 相似，所以可得：OD/OC=FD/FC=F/E又因为 OC=2FC，则有：FD=EF/2所以得到FC²=FA²+AC²EF²=OA²+OE²那么可以推出EF=2√(OA²+OE²-FA²)/2可用这个公式来求圆心到弦的距离因为圆心到弦的距离是一般的几何知识，所以可以认为这个公式是公认的结论本文介绍了垂直于弦的直径和垂线中点定理的概念，同时探究了如何通过这个性质解决一些相关的几何问题，这些知识是高中数学和大学数学的基础，希望能够对大家的学习有所帮助。
