高等数学知识在实际生活中的应用一、数学建模的应用数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质， 分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征一)数学建模的一般方法和步骤(1) 了解问题，明确目的在建模前要对实际问题的背景有深刻的了 解，进行全面的、深入细致的观察明确所要解决问题的目的和要求，并按 要求收集必要的数据2)对问题进行简化和假设一般地，一个问题是复杂的，涉及的方 面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的 基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几 条合理的假设不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果3)建立模型在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方 法建立数学模型在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广 使用4)对模型进行分析、检验和修改建立模型后，要对模型进行分析, 即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运 算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理 性一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功5)模型的应用用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未 来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。
归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：问题*假设*建模*■分析►应用检验、修改图1（二）数学建模的范例例 教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边 缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边 缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？先建立一个非常简单的模型：模型1:先对问题进行如下假设：1 .假设这是一个普通的教室（不是阶梯 教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的 上方a米和b处2 .看黑板的清楚程度只与视角的大小有关设学生D距黑板x米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为由假设知：所以，当且仅当x旅时，tan（）最大,从而视角 最大从结果 我们可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面坐得太远或太近, 都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况下面我们在原有模型的基础上，将问题 复杂一些模型2:设教室是一间阶梯教室，如图2. 3-2所示为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平面成 角，以黑板所在直线为y轴，以水平线为x轴，建 立坐标系(见图2. 3-2)。
则直线OE的方程(除原点)为：若学生D距黑板的水平距离为x,则D在坐标系中的坐标为(x,xtan ),a xtan , b xtan灿.tan ,tan xx所以 tan( )- tan1 tan tan设f(x) x也①一btan )x tan2 x2 ,要使tan()最大，只要f(x)最小 x就可以了对f(x)求导得：当x尸二时，f’(x) 0,则f(x)随x的增大而增大；当0 x二1^3时,1 tan21 tan2f’(x)则f(x)随x的增大而减小，由因为f(x)是连续的，所以当x — abL\ 1 tan2时，f(x)取最小值，也就是x 口b二时，学生的视角最大1 tan2通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排模型1和模型2所应用的基本知识都是相同的，只是因为假设的教室的环境不 同，建立的模型有些细微差别，所以结果不同，但这两个结果都是基本符合 实际的在解题过程中，我们只考虑了一个因素，那就是视角，其实我们还 可以考虑更多的因素，比如：前面学生对后面学生的遮挡，学生看黑板的舒 适度(视线与水平面成多少度角最舒服)，等我们考虑的因素越多，所的 结果就会越合理。
但有时如果考虑的因素过多、过细的话，解题过程就会相 当繁琐，有时甚至得不到结果所以“简化假设”时就需要我们冷静的分析, 在众多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的选择因此在建立模型时既要符 合实际，又要力求计算简便矩阵在实际生活中的应用一)有关矩阵的乘法矩 阵 A= a b 与 a = x 相 乘 cdyAaa b x ax by c d y cx dyA( a)abcdx aby cdx a x b y axy c x d y cxbydyAa二) 矩阵应用的范例— 人口流动问题例 假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、 工、 商工作， 假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：1) 在这 40万就业人员中， 目前约有 25 万人从事农业， 10万人从事工业， 5万人经商；2) 在务农人员中 ， 每年约有 10%改为务工 ， 10%改为经商 ；3) 在务工人员中 ， 每年约有 10%改为务农， 20%改为经商 ；4) 在经商人员中 ， 每年约有 10%改为务农， 20%改为务工 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各 业人员总数之发展趋势解：若用三维向量(Xi,yi,Zi)T表示第i年后从事这三种职业的人员总数, 贝U已知(Xo, yo, Zo)T=(25, 10, 5) To 而欲求(Xi, yi, Zi)T,(X2, y2, Z2) T 并考察 在n —OO时(Xn, yn, Zn)T的发展趋势。
依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为Xi0.8X0 0.iy0 0.iZ0TYi0T.iX0 0.7 y0 0.2Z0以(讶⑷^25,吆5)0归与^即0%一 年 业 人 员 的 人 数 分 别 为 21. 5 万 10. 5 万 、 8 万 人X2x1x019.05即两年后从事各Y2人员A勺从数例fj丸19.05］方1 11.1万、9. 85万人进而推得：Z2z0 9.85决定Xnxn 1x0即n年之后从事常业人员叩人数奉舍皿A 在这个问题的求解过程中，我信应用到矩阵0的乘法、转置等，将一个实际问 题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题这个问题看似复杂，但 通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。