第一章数和数的运算一概念（-）整数1、 整数的意义自然数和都是整数2、 自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1, 2, 3……叫做自然数一个物体也没有，用0表示0也是自然数3、 计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位每相邻两个计数单位之间的进率都是Wo这样的计数法叫做十进制计数法4、 数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位5、 数的整除整数a除以整数b（b丰0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除， 或者说b能整除a如果数a能被数b （b手0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做&的约数（或a的因 数）倍数和约数是相互依存的因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1,最大的约数是它本身例如：10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它木身3的倍数有：3、6、9、12…… 其中最小的倍数是3,没有最大的倍数个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2整除个位上是。
或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都 能被3整除一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除一个数的末两位数能被4 （或25）整除，这个数就能被4 （或25）整除例如：16、404、 1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除一个数的末三位数能被8 （或125）整除,这个数就能被8 （或125）整除例如：1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000 都能被 125 整除能被2整除的数叫做偶数不能被2整除的数叫做奇数0也是偶数自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数 •个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质 数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、 73、 79、 83、 89、 97一个数，如果除了 1和它木身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、 12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了 1外，不是质数就是合数如果把自然数按其约数 的个数的不同分类，可分为质数、合数和1每个合数都E以写成几个质数相乘的形式其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这 个合数的质因数，例如15=3X5, 3和5叫做15的质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数例如把28分解质因数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数其中最大的一个，叫做这几个数的最大公 约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12； 18的约数有1、2、3、6、9、18其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数,6是它们的最大公约数公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质相邻的两个自然数互质两个不同的质数互质当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这 几个数两两互质如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1儿个数公有的倍数，叫做这儿个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这儿个数的最小公 倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它 们的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的二）小数1、 小数的意义把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示一位小数表示十分之儿，两位小数表示百分之儿，三位小数表示千分之儿……一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成数中的圆点叫做小数点，小数点左 边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10小数部分的最高分数单位“ I-分 之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10o2、 小数的分类纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数例如：0.25、0.368都是纯小数带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数例如：3.25、5.26都是带小数有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数例如：41.7、25.3、0. 23 都是有限小数无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数例如：4. 33……3.1415926 ……无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无 限不循环小数。
例如：n循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者儿个数字依次不断重夏出现，这个数叫 做循环小数例如：3. 555 …… 0. 0333 …… 12. 109109 ……一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节例 如：3.99……的循环节是“ 9 ” ，0. 5454……的循环节是“ 54 " 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数例如：3.111…… 0.5656 ……混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数3.1222…… 0. 03333 ……写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节 的首、末位数字上各点一个点点如果循环 节只有一个数字，就只在它的上面点一个点 例如：3.777…… 简写作 0.5302302…… 简写作三）分数1、 分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平 均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2、 分数的分类真分数：分子比分母小的分数叫做真分数真分数小于1假分数：分了比分母大或者分了和分母相等的分数，叫做假分数假分数大于或等于1带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数3、 约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分分子分母是互质数的分数，叫做最简分数把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分四）百分数1、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比百 分数通常用"%〃来表示百分号是表示百分数的符号一） 数的读法和写法1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读读亿级、万级时，先按照个级的读法 去读，再在后面加一个“亿”或“万”字每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几 个都只读一个零2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在 那个数位上写03. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小 数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下 角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分了，分子和分母按照整数 的读法来读6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分了•，按照整数的写法来写7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前血的数，读数时按照整数 的读法来读8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“％” 来表示二） 数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数有 时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为 单位的数改写后的数是原数的准确数例如把1254300000改写成以万做单位的数是 125430万；改写成以亿做单位的数12.543亿2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用 一个近似数来表示例如：1302490015省略亿后面的尾数是13亿3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果 尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1例如：省略 345900万后面的尾数约是35万。
省略4725097420亿后面的尾数约是47亿4. 大小比较1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高 位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下…位，哪一位上的数大那个 数就大2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相 同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就 大……3. 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的 分数大分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小三） 数的互化1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去 掉小数点作分子，能约分的要约分2. 分数化成小数：用分母去除分子能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能 化成有限小数的，一般保留三位小数3. -•个最简分数，如果分母中除了 2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能 化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动 两位。
6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小 数化成百分数7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数四） 数的整除1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法先用能整除这个合数的质数去除，一直除 到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一百.除到所得 的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约 数3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除, 一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这儿个数 的最小公倍数4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质； 当合 数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时•，这两个合 数互质。