2.5 二次函数与一元二次方程第2课时 利用二次函数求方程的近似根第二章 二次函数 1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集； （重点）2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点）学习目标 问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢?导入新课导入新课回顾与思考 例1：求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.利用图象法求一元二次方程的近似根一讲授新课讲授新课 解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间. 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4. (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；(2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标；(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根;方法归纳利用图象法求一元二次方程的近似根 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( )A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.B针对训练 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．方法总结 例2：求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）. 分析：令y=x²-2x-1-3=x²-2x-4，则x²-2x-1=3的根就是抛物线 y=x²-2x-4 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标. 2 解：y=x²-2x-4的图象如图所示.解：由图象可知方程的一根在3到4之间，另一根在-1到-2之间.(1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：x…3.23.3…y…-0.160.29…因此，x=3.2是方程的一个近似根.(2)可类似地求出另一个根为x=-1.2. 例2变式：你还能利用y=x²-2x-1 的图象求一元二次方程 的近似根吗（精确到0.1）？ 分析：在y=x²-2x-1的图象中作直线y=3，再用图象法求出直线与抛物线交点的横坐标，则横坐标的近似值即为所求方程的近似根.y=3 一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.方法归纳 利用函数的图象求一元二次不等式的解集二问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是 _____ _____;不等式ax2+bx+c>0的解集 是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________. 3-1Oxyx1=-1，， x2=3x<-1或或x>3-12的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. 3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2，， x2=4x<-2或或x>4-20（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.1(2,0)x=2 问题3 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么 函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解；(2)当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:(1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.(2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0.(3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0.xy020xy-12xy0 y= - -x x2 2+ +x x+2+2x1=-1 , x2=2-1 ＜＜ x＜＜2x1＜＜-1 , x2＞＞2y=x2-4x+4 x=2 x≠2的一切实数 x无解y=-x2+x-2 x无解 x无解 x为全体实数 要点归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点a＞＞0a＜＜0 有两个交点x1,x2 (x1＜x2)有一个交点x0没有交点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x2＜x或x＜x1 y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x2＜x或x＜x1y＞0,x0之外的所有实数；y＜0，无解y＜0,x0之外的所有实数；y＞0，无解y＞0，所有实数；y＜0，无解y＜0，所有实数；y＞0，无解 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 0 ？ （（3））x取什么值时，y<0 ？xyO248解：（：（1））x1=2,x2=4;（（2））x<2或或x>4;（（3））2