第一章 行列式授课题目 1.1数环和数域授课时数：2课时教学目标：1.了解数学问题的讨论与涉及的数的范围有关，而且与所允许使用的运算有关2.掌握判定数环、数域的方法；3.能证明有关数环、数域的一些结论教学重点：数环和数域的定义，判定教学难点：数环和数域的判定教学过程：一． 数的范围与运算的封闭性 1．数的范围 许多数学问题与涉及到的数的范围有关，如二次方程内有解，又如、、内都有不同的结果 2．数的运算的封闭性 整数集，对加、减、乘三种运算是普遍可施行的，但对除法，运算结果不一定在其中，不能普遍施行有理数集（、）对加、减、乘、除可普遍施行因此数集可分成两类来加以研究 数的范围→数集→运算的封闭性→分类 为了讨论方便，我们给出运算封闭的定义：在数集S中，任取两数作某种运算，若其结果仍在S中，则称数集S对于这种运算是封闭的二． 数环及例子 1．数环 定义1.设S是复数集C的一个非空子集，如果S中任意两个数的和、差、积仍是S中的数，则称S是一个数环定义复数集C的一个非空子集S作成数环当且仅当S对于数的加、减、乘三种运算封闭。
由定义可得：1）零数环是最小数环；2）所有数环都包含零数环2．例子例1设n是某一整数，则 是一个数环.事实上， 特别地，例2两个数环的交是一个数环，两个数环的并一定是数环吗？证 设是两个数环，因为，，所以，如果，那么，.又因为均是数环，所以两个数环的并，不一定是数环.如不是数环有限个数能否组成数环？（请同学思考回答）能，只有零环有多少个数环？ （请同学思考回答） 从例1或例2都可以看出有无限个数环三、数域及性质1．数域 定义2 设F是至少含有两个数的数环，对任意，有 ， 则称F是一个数域 为什么要求至少含两个数？①保证除法切实可进行② 便于研究（推导有关结论）③排除{0}即是数环又是数域2．例子 例如，、、都是数域N,Z不是数域，例1、例2中的数环不是数域.例 3． 证明证 显然F是显然一个数环，且，，所以① 成立设否则在d=0的情形不将c=0, 又由于 所以 . 有限个数能否组成数域？有多少个数域？3．性质定理1.1.1 任何数域都包含有理数域证 设F是任意一数域，证由于0，1均属于F，于是对任何正整数m有： 从而因此，F包含一切有理数，练习1．证明两个数环的交还是数环。
2．设F是至少含两个不同数的集合证明：如果F中任意两上数的差与商（除数不为0）仍属F，则F是数域例4 下列数集中作成数环的有，作成数域的有1）； （2）；（3）；（4）；（5）思考题：（下次课抽问）① 上面练习② 习题1.1，1题（p3）③ 求含作业：（P6）1，2，3，4。