个人资料整理仅限学习使用五．对称性和守恒定律1．运动积分：有心力场：所以 故：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用积分：对于有心势场：h为常数有心力是保守力：与运动方程相比上述方程比较容易求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用运动积分：拉格朗日函数为广义坐标、和的函数，一个力学体系在时刻由个量和来决定广义坐标：其中：为拉格朗日方程通解的个积分常数他们存在于、的函数中，而且在运动过程中保持不变这种函数称为运动积分如果体系的自由度为我们可以从上述方程中消去，保留个方程组，解得：个都是相互独立的，都是拉格朗日方程的运动积分原则上我们可以用运动积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用分来取代全部的拉格朗日方程最简单的运动积分：（1）广义动量守恒：循环坐标：拉格朗日函数中不显含的坐标称为循环坐标或可遗坐标。
设拉格朗日函数中不显含的坐标，由得广义动量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用例如有心力场：中不显含，所以有（2）广义能量守恒：广义能量积分：如果拉格朗日函数中不显含时间，则，拉格朗日函数对时间的微分：由拉格朗日方程：得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用运动积分：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用H的物理意义：设：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用H 为广义能量若体系是稳定约束：，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用守恒量：运动积分的分类：（1）具有可加性。
有几个部分组成，而各个部分之间的相互作用可以忽略不计，它的值等于各个部分之和（2）具有 不可加性：守恒量
1） 物理问题的解在平移下不变（2） 平移不变性对于孤立系统-------- 动量守恒空间均匀性是指体系的拉格朗日函数当粒子的坐标用代替时，保持不变，其中是任意的常矢量空间均匀性更通用的概念将只要求在空间平移下，运动方程的不变，若是这样，也可以证明存在一个守恒量，但这个守恒量并不必定是正则动量2．时间的均匀性：孤立体系中，相对于时间的平移，自然规律是不变的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用即，在和两个时刻，自然规律具有相同的形式在数学上，上述概念由拉格朗日函数种不显含时间表示：由拉格朗日方程：方程两端同时乘以并对求和：增加一项：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用即：令：则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用守恒！3．空间各向同性：沿空间所有方向具有相同的结构。
孤立体系当整个体系在空间任意转动时，其力学性质不变拉格朗日函数在空间转动下不变！令系统绕某一个轴转动，则位矢的端点绕轴转动的半径为：，对时间求导：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用因为和相互独立，因此其顺序可以变化，所以：利用：得：将拉格朗日方程代入：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用令，由于所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用例：均匀电场中的守恒定律：带电粒子 <1）均匀电场中（3） 均匀磁场中推导出平移对称性的守恒定律解：正则动量：应用拉格朗日方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用应用：得到：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用无论在什么时候，将广义力写成时间的全微分是可能的：守恒定律：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用(a>均匀电场：上述描述对应于两种不同的规范。
第一种情况：守恒定律：在该规范中， 守恒量与正则动量不相等！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用第二种情况：因为所以拉格朗日量为：这样有：因此动量守恒：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用讨论：比较第一种和第二种情况这是由两种不同的规范产生的：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用两种守恒量：守恒是相同因此，我们认为在有外部电磁场的情况下，包含正则动量的定律的物理意义可以依赖于规范
该两点之间的距离为：势能：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用注意到克罗内克函数的定义：因此：同理：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用因此：所以：牛顿第三定律！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用系统的总势能：右端第一式是对a 和b都由 1到N求和，但要求，一方面保证了，另一方面避免了对同一对质点a 和b 的相互作用势能重复计算两次作用在 a点合内力：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用作用在 a点上的合外力：所以作用在 a点上的合力：由拉格朗日方程：由广义动量和广义力的表达式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用求和：因为：所以：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用所以：质点系的动量定理！若外场为零：， 则因此：动量守恒！2．动量和能量的变换：动量守恒和能量守恒的成立不依赖于参考系的选取，但是，在不同的参考系中，动量和能量所取的值不同。
设参考系相对于参考系以速度运动，用和分别表示第a 个质点相对于和的速度，为质点系在和中的总动量，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用质点系的总动量在相互作匀速运动的坐标系之间的变换规则：若质点系不处于外场中，用和表示在和中的能量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用如果是质心系，则质点系在中的能量等于质点系在质心系中的能量加上将质点系的总质量附在质心上时质心在系中的动能3．角动量的变换：用分别表示在参考系中的角动量，利用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用其中第一项质点系在系中的总角动量，质心系中第二项：第三项：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 38 页 个人资料整理仅限学习使用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 38 页 。