机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第九节第九节 连续函数的运算连续函数的运算一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结四、小结 思考题思考题与初等函数的连续性与初等函数的连续性1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、连续函数的四则运算的连续性【【定理定理1】】［例［例 如如 ］］（上节已证）（上节已证）由由函数函数““点连续点连续””的定义和极限四则运算法则，立的定义和极限四则运算法则，立得得: :【【推广推广】】 有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数结论结论】】三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续.若若f(x) , g(x)在点在点x0处连续，则处连续，则f(x)±g(x) ，，f(x)g(x) , f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在点在点x0处也连续处也连续.2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、反函数与复合函数的连续性【【定理定理2】】严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数连续反函数. .（证明略）（证明略）［例如］［例如］【【结论结论】】反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. . 1. . 反函数的连续性反函数的连续性3 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【定理定理3】】【【证证】】2、复合函数的连续性、复合函数的连续性4 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 将上两步综合起来将上两步综合起来: :【【注意注意】】本节本节定理定理3是是§§5定理定理6（复合函数求极（复合函数求极限的法则）的特例，外层函数由原来限的法则）的特例，外层函数由原来的极限的极限存在存在加强为加强为连续连续。
5 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【意义意义】】【【例例1】】【【解解】】可知可知极限符号极限符号 可以与函数符号可以与函数符号 f 交换次序交换次序; ;条件是：条件是：内层函数极限存在、外层函数在对内层函数极限存在、外层函数在对 应点连续；则可交换次序应点连续；则可交换次序. .同理同理（即教材例（即教材例6））利用利用lnu的的连续性连续性6 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【教材教材例例3】】【【解解】】可视为由可视为由复合而成，复合而成，则则7 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 又如又如交换次序：交换次序：用用arccosu的的连续性连续性分子有理化分子有理化分离无穷小量分离无穷小量8 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【定理定理4】】【【注意注意】】定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况. .简言之：简言之：内、外层函数在对应点都连续，则复内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续合函数连续9 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ［例如］［例如］是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续 .复合而成复合而成 ,10 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【关系关系】】§§5 定理定理6：：内、外层函数内、外层函数极限极限都都存在存在，则，则复合函数复合函数极限存在极限存在.(.(叙述不严格叙述不严格) )本节定理本节定理3：：内层函数内层函数极限存在极限存在、外层函数、外层函数加强为加强为连续连续，则复合函数，则复合函数极限存在极限存在，且极限，且极限符号和函数符号可符号和函数符号可交换次序交换次序. .本节定理本节定理4：：内、外层函数都加强为内、外层函数都加强为连续连续，则复，则复合函数也合函数也连续连续（（极限存在且等于函数值、极限极限存在且等于函数值、极限符号和函数符号可交换次序符号和函数符号可交换次序））. .11 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的. .（已证）（已证）★★★★★★（指出但不详细讨论）（指出但不详细讨论）（由（由【【定理定理2】】反函数的连续性可得）反函数的连续性可得）12 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【定理定理5】】 基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内是连续的是连续的. .★★( (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 ) )定义区间定义区间是指包含在定义域是指包含在定义域内内的区间的区间. .由由【【定理定理4】】复合函数的连续性复合函数的连续性基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续连续函数经连续函数经四则运算四则运算仍连续仍连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续【【定理定理6】】 13 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. .初等函数仅在其定义初等函数仅在其定义区间内区间内连续连续, , 在其定义在其定义域内域内不一定连续不一定连续; ;［例如］［例如］在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义. .在在0 0点的某去心邻域内没有定义点的某去心邻域内没有定义. .【【注意注意】】【【注意注意】】2. .初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法. .则既不是连续点也不是间断点则既不是连续点也不是间断点［又如］［又如］14 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【例例3】】【【例例4】】【【解解】】【【解解】】有理化后消去有理化后消去0因子因子15 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【教材教材例例8】】【【解解Ⅰ】】【【解解Ⅱ】】ln(1+2x) ~ 2x (x→0)16 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【补充补充】】则有则有ln[1+u(x)] ~ u(x) (u(x)→0)17 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【一般地一般地】】的的函数称为函数称为幂指函数幂指函数若若则则【【注意注意】】①①. .lim表示自变量的同一变化过程中的极限表示自变量的同一变化过程中的极限. .（是定式情况下成立）（是定式情况下成立）②②.不能分两步写作：不能分两步写作：18 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【思考题思考题】】19 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【思考题解答思考题解答】】是它的可去间断点是它的可去间断点20 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【思考题思考题】】21 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【思考题解答思考题解答】】且且22 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 但反之不成立但反之不成立. .［例］［例］但但23 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 教材习题教材习题1—9 P69 第第2题题 解答解答【【证明证明】】在在 点，有且仅有三种情形：点，有且仅有三种情形：24 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 又由假设又由假设故故即即由由函数极限的局部保号性立知函数极限的局部保号性立知25 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 今取今取故故此即此即则则26 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上上两式同时成立两式同时成立即即【【证完证完】】连续连续27 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、小结3. .定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别; ;求极限的又一种方法求极限的又一种方法. .2. .两个定理（两个定理（3、、4））; ;两点意义两点意义. .1.基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数初等函数在在定义区定义区间内间内连续连续【【说明说明】】 分段函数在分界点处是否连续需讨论其分段函数在分界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性. 28 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【思考题思考题】】29 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【【思考题解答思考题解答】】是它的可去间断点是它的可去间断点30 。
