2016年暑假五年级奥数第三讲（教师版）长方体与正方体涂色与三视图一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处两面涂红色的在棱长处一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内三视图：是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个几何体而画出的图形【例 1】 右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共块； 【答案】8, 12【巩固】右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块 【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共块； 【答案】8, 36【例 2】 右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块一面涂红的表面中间部分：块．六面都没涂色的只有正方体内的小方块：块 【答案】6, 1【巩固】右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块【解析】 一面涂红的表面中间部分：块．六面都没涂色的只有正方体内的小方块：块【例 3】 将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米【解析】 长：3115厘米；宽：1113厘米；高：1113厘米；所以原长方体的表面积是：（353533）3278平方厘米． 【答案】78【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．【解析】 沿着长边等距离切5刀，可切为块；沿着宽边等距离切4刀，可切为块；沿着高边等距离切刀，可切为块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，，解得． 【答案】3【例 4】 右图是长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色【解析】 两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【巩固】右图是长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况【解析】 共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面；【解析】 共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面【例 5】 右图是长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况 【解析】 共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【解析】 共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。
则三个面涂漆的小正方体有________块解析】 因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有8块 【答案】8块【例 6】 小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的 填序号）2007年，第五届希望杯，5年级初赛，第9题，6分 【答案】③【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）从右侧面看这个立方体，看到的图形是图 A B C D【答案】B【例 7】 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形 正视图 上视图 右视图【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从上面和正面看到的图形【解析】 如下：【例 8】 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个形体最多由_______个小正方体构成解析】 从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最多由13块正方体构成 【答案】13【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个形体最少由________个小正方体构成。
解析】 从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最少由11块正方体构成 【答案】11【例 9】 小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最多用了________块木块.【解析】 从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数) 【答案】最多25【巩固】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最少用了_____块木块解析：从上往下看，分别如左下图和右下图(图中数字为每一格的木块数) 【答案】最少9【例 10】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了 块木块． 【解析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块． 【答案】23块【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了 块木块．【解析】 这道题很多同学认为答案是32块．这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如图5，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为27块．【答案】27块课堂检测1． 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．【解析】 沿着长边等距离切5刀，可切为块；沿着宽边等距离切3刀，可切为块；沿着高边等距离切刀，可切为块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共个，因各面均没有红色的小方块为40块，所以，，解得． 【答案】62. 将8个相同的小正方体拼成一个体积为8立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。
解析】 有下列组合：8×1×1，4×2×1， 2×2×2的情况，对于8×1×1，两端的小正方体各有5个面涂漆，它们之间的小正方体各有4个面涂漆，没有3个面涂漆的对于4×2×1的情况，四个角上的小正方体各有4个面涂漆，它们之间夹着的4个小正方体各有3个面涂漆对于2×2×2的情况， 8个小正方体各有3个面涂漆，所以，最多有8个，最少有0个 【答案】最多有8个，最少有0个3. 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形 【答案】 上视图 右视图 正视图4. 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最多由________个小正方体构成解析】 从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最多由21块正方体构成 【答案】21家庭作业：1． 右图是块小长方体堆叠而成，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小长方体各有多少块【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个长方体；两面涂红色的在棱长处，共块；一面涂红的表面中间部分：块．2. 一个长方体的长是12厘米，宽8厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有280个．求原来长方体的体积。
解析】 先求出长方体的高，再求其体积和表面积．设长方体的高为厘米，则按题意截成的一面有色的小正方体有个，因为一面有色的小正方体有280个，所以，，解得． 所以，长方体的体积为立方厘米 【答案】672立方厘米3. 将长为6，宽为5，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体则三个面涂漆的小正方体有________块 【答案】14块【解析】 因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有块4. 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形 上视图 右视图 正视图5. 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，【解析】 从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最少由16块正方体构成 【答案】166. 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了 块木块．【解析】 这道题很多同学认为答案是35块．这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如图5，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为30块．【答案】30块。