创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 P C G F B Q A D E 经典难题（一） 【1】 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF． （初二） 2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△ PBC 是正三角形． （初二） 3、如图，已知四边形 ABCD、 A1B1C1D1 都是正方形，A2、B2、C2、 D2 分别是 AA1、 BB1、CC1、DD1 的中点． 求证：四边形 A2B2C2D2 是正方形． （初二） 4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC的延长线交 MN 于 E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 经典难题（二） 1、已知：△ ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OM⊥BC 于 M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO． （初二） 2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OA⊥MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q． 求证：AP＝AQ． （初二） 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN于 P、Q． 求证：AP＝AQ． （初二） 4、如图，分别以△ ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG，点 P 是 EF 的中点． 求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半． （初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE 与 CD 相交于 F． 求证：CE＝CF． （初二） 2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE∥AC，且 CE＝CA，直线 EC 交 DA 延长线于 F． 求证：AE＝AF． （初二） 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PF⊥AP，CF 平分∠DCE． 求证：PA＝PF． （初二） 4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD． （初三） 经典难题（四） A P C D B A F G C E B O D D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A D A F D E C B E D A C B F F E P C B A O D B F A E P 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 1、已知：△ ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB 的度数． （初二） 2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB． （初二） 3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD． （初三） 4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC． （初二） 经典难题（五） 1、设 P 是边长为 1 的正△ ABC 内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2． 2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA＋PB＋PC 的最小值． 3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长． 4、如图，△ ABC 中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E 分别是 AB、AC 上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED 的度数． 经典难题（一）答案 1.如下图做 GH⊥AB,连接 EO。
由于 GOFE 四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△ GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证 2. 如下图做△ DGC 使与△ ADP 全等，可得△ PDG 为等边△ ，从而可得 △ DGC≌△APD≌△CGP,得出 PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△ PBC 是正三角形 A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A A P C B A C B P D E D C B A A C B P D 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 3.如下图连接 BC1 和 AB1 分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点， 连接 EB2 并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2 并延长交 A2Q 于 G 点， 由 A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ，EB2=12AB=12BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900 和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△ B2FC2≌△A2EB2 ，所以 A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900 和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形 A2B2C2D2 是正方形。
4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 经典难题（二） 1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD， 可得 BH=BF,从而可得 HD=DF， 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接 OB，OC,既得∠BOC=1200， 从而可得∠BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证 3.作 OF⊥CD，OG⊥BE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ 由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG， 由此可得△ ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得 AP=AQ 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。
可得 PQ=2EGFH 由△ EGA≌△AIC，可得 EG=AI，由△ BFH≌△CBI，可得 FH=BI 从而可得 PQ=2AIBI=2AB，从而得证 经典难题（三） 1.顺时针旋转△ ADE，到△ ABG，连接 CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350 从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得△ AGB≌△CGB 推出 AE=AG=AC=GC，可得△ AGC 为等边三角形 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 2.连接 BD 作 CH⊥DE，可得四边形 CGDH 是正方形 由 AC=CE=2GC=2CH， 可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150， 又∠FAE=900+450+150=1500， 从而可知道∠F=150，从而得出 AE=AF 3.作 FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出 GFEC 为正方形。
令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZYXZ，可得 YZ=XY-X2+XZ， 即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出△ ABP≌△PEF ， 得到 PA＝PF ，得证 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 经典难题（四） 1. 顺时针旋转△ ABP 600 ，连接 PQ ，则△ PBQ 是正三角形 可得△ PQC 是直角三角形 所以∠APB=1500 2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得： AEBP 共圆（一边所对两角相等） 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证 3.在 BD 取一点 E，使∠BCE=∠ACD，既得△ BEC∽△ADC，可得： BEBC=ADAC，即 AD•BC=BE•AC， ① 又∠ACB=∠DCE，可得△ ABC∽△DEC，既得 ABAC=DEDC，即 AB•CD=DE•AC， ② 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 4.过 D 作 AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得： 2AE PQ=2AE PQ，由 AE=FC 可得 DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理） 经典难题（五） 1.（1）顺时针旋转△ BPC 600 ，可得△ PBE 为等边三角形 既得 PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小 L= ； （2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F 由于∠APD>∠ATP=∠ADP， 推出 AD>AP ① 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 又 BP+DP>BP ② 和 PF+FC>PC ③ 又 DF=AF ④ 由①②③④可得：最大 L< 2 ； 由（1）和（2）既得：≤L＜2 。
2.顺时针旋转△ BPC 600 ，可得△ PBE 为等边三角形 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF 既得 AF=213(1)42 = 23= 42 32 = 2( 31)2 = 2( 31)2 = 622 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 3.顺时针旋转△ ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长 L = 2222(2)()22a = 52 2 a 4.在 AB 上找一点 F，使∠BCF=600 ， 连接 EF，DG，既得△ BGC 为等边三角形， 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人） ： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1 月 8 日 可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ ABE≌△ACF ， 得到 BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △ FGE 为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ， 既得：∠DFG=400① 又 BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400② 推得：DF=DG ,得到：△ DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。