在本次试验中，我们将追溯关于圆周率 的计算历程通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、迭代法等计算方法的介绍和计算体验，感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识，同时使我们看到数学家对科学真理的永无止境的追求实验目的实验目的主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2024/9/22 主要内容 四、利用级数计算二、韦达(VieTa)公式 三、数值积分方法 一、割圆术六、拉马努金(Ramanujan)公式五、蒙特卡罗(Monte Carlo)法2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页实验指导实验指导 ππ是是使使人人们们最最经经常常使使用用的的数数学学常常数数人人们们对对ππ的的研研究究已已经经持持续续了了25002500多多年年在在今今天天，，这这种种探探索还在继续索还在继续……2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 世世界界上上数数学学家家们们一一致致公公认认：：““历历史史上上一一个个国国家家计计算算圆圆周周率率的的准准确确度度，，可可以以作作为为衡衡量量这这个个国国家家当当时时数数学水平的一个标志。
学水平的一个标志实验指导实验指导2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页ππ值值————算法美的追求算法美的追求 π π作为圆周率的符号，是由著名数学家作为圆周率的符号，是由著名数学家作为圆周率的符号，是由著名数学家作为圆周率的符号，是由著名数学家EulerEuler于公元于公元于公元于公元17371737年首先使用的年首先使用的年首先使用的年首先使用的古代的希伯来人，在古代的希伯来人，在古代的希伯来人，在古代的希伯来人，在描述所罗门庙宇中的描述所罗门庙宇中的描述所罗门庙宇中的描述所罗门庙宇中的“ “熔池熔池熔池熔池” ”时曾经这样写道：时曾经这样写道：时曾经这样写道：时曾经这样写道：“ “池池池池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其周长为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其周长为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其周长为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其周长为三十腕尺为三十腕尺为三十腕尺为三十腕尺 ”可见，古希伯来人认为圆周率等于可见，古希伯来人认为圆周率等于可见，古希伯来人认为圆周率等于可见，古希伯来人认为圆周率等于3 3。
不过，那时的建筑师们，似乎没有人不明白，不过，那时的建筑师们，似乎没有人不明白，不过，那时的建筑师们，似乎没有人不明白，不过，那时的建筑师们，似乎没有人不明白，圆周长与直径的比要比圆周长与直径的比要比圆周长与直径的比要比圆周长与直径的比要比3 3大一些 公元前 公元前 公元前 公元前3 3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了世纪古希腊大数学家阿基米德求出了世纪古希腊大数学家阿基米德求出了世纪古希腊大数学家阿基米德求出了223/71<223/71<π π <22/7<22/72024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页““割圆术割圆术””中学问多中学问多 我国我国我国我国20002000多年前的《周髀算经》称多年前的《周髀算经》称多年前的《周髀算经》称多年前的《周髀算经》称“ “周三径一周三径一周三径一周三径一” ”，这是，这是，这是，这是π π的第一个近似值，叫做的第一个近似值，叫做的第一个近似值，叫做的第一个近似值，叫做“ “古率古率古率古率” ” 据说，汉代大科学家、文学家张衡，有 据说，汉代大科学家、文学家张衡，有 据说，汉代大科学家、文学家张衡，有 据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“ “圆周圆周圆周圆周率一十之面率一十之面率一十之面率一十之面” ”的推算。
清代李潢考证这句话意思为的推算清代李潢考证这句话意思为的推算清代李潢考证这句话意思为的推算清代李潢考证这句话意思为π π≈ ≈sqrt(10)sqrt(10) 魏晋 魏晋 魏晋 魏晋间间刘徽由刘徽由刘徽由刘徽由圆圆内接正六内接正六内接正六内接正六边边形依次倍增到正形依次倍增到正形依次倍增到正形依次倍增到正192192边边形，形，形，形，计计算周算周算周算周长长与直径之比，得与直径之比，得与直径之比，得与直径之比，得 3.141024< 3.141024< π π<3.142704<3.142704实际应用时取实际应用时取实际应用时取实际应用时取3.143.14，或分数值，或分数值，或分数值，或分数值157/50157/502024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页““割圆术割圆术””中学问多中学问多 他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这是比求是比求是比求是比求π π值更可宝贵的。
从方法上说，他得到了重值更可宝贵的从方法上说，他得到了重值更可宝贵的从方法上说，他得到了重值更可宝贵的从方法上说，他得到了重要的要的要的要的“ “刘徽不等式刘徽不等式刘徽不等式刘徽不等式” ” 设单位圆内接正设单位圆内接正设单位圆内接正设单位圆内接正n n边形的边长为边形的边长为边形的边长为边形的边长为a an n，圆内接正，圆内接正，圆内接正，圆内接正n n边形的面积为边形的面积为边形的面积为边形的面积为S Sn n根据勾股定理，边长有如下递根据勾股定理，边长有如下递根据勾股定理，边长有如下递根据勾股定理，边长有如下递推公式：推公式：推公式：推公式：2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页““割之弥细，失之弥少，割之又割之弥细，失之弥少，割之又割，则与圆合体而无所失矣割，则与圆合体而无所失矣 面积与边长有如下关系：面积与边长有如下关系：面积与边长有如下关系：面积与边长有如下关系： 圆面积圆面积圆面积圆面积S S与多边形的面积与多边形的面积与多边形的面积与多边形的面积S Sn n之间有如下关系：之间有如下关系：之间有如下关系：之间有如下关系：2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页刘徽不等式刘徽不等式借助于计算机来完成刘徽的工作：借助于计算机来完成刘徽的工作：借助于计算机来完成刘徽的工作：借助于计算机来完成刘徽的工作：a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;for i=2:6for i=2:6 a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2)); a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2)); b(i)=3*2^(i-2)*a(i); b(i)=3*2^(i-2)*a(i); c(i)=2*b(i)-b(i-1);c(i)=2*b(i)-b(i-1);endendn=[3,6,12,24,48,96];n=[3,6,12,24,48,96];size(b)size(b)result=[n;a;b;c]result=[n;a;b;c]result’result’2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页刘徽不等式刘徽不等式ans =ans = 3.0000 1.7321 2.5981 0 3.0000 1.7321 2.5981 0 6.0000 1.0000 3.0000 3.4019 6.0000 1.0000 3.0000 3.4019 12.0000 0.5176 3.1058 3.2117 12.0000 0.5176 3.1058 3.2117 24.0000 0.2611 3.1326 3.1594 24.0000 0.2611 3.1326 3.1594 48.0000 0.1308 3.1394 3.1461 48.0000 0.1308 3.1394 3.1461 96.0000 0.0654 3.1410 3.1427 96.0000 0.0654 3.1410 3.14272024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页割圆术的意义割圆术的意义 刘徽创立的割圆术，其意义不仅在 刘徽创立的割圆术，其意义不仅在于计算出了于计算出了Pi的近似值，而且还在于提的近似值，而且还在于提供了一种研究数学的方法。
这种方法相供了一种研究数学的方法这种方法相当于今天的当于今天的“求积分求积分”，后者经，后者经16世纪世纪英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总结而得名鉴于刘徽的巨大贡献，所以结而得名鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称做不少书上把他称做“中国数学史上的牛中国数学史上的牛顿顿”，并把他所创造的割圆术称为，并把他所创造的割圆术称为“徽徽术术”2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式 1593年，韦达首次给出了计算年，韦达首次给出了计算Pi的的精确表达式：精确表达式： 韦达公式看起来有些神秘，其实它 韦达公式看起来有些神秘，其实它的导出过程所用的都是朴实简洁的数学的导出过程所用的都是朴实简洁的数学方法2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式1、从、从sint开始开始2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式所以，对任意所以，对任意N，总有，总有2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式2、从、从cos(pi/4)开始开始2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式3、使用、使用VieTa公式计算公式计算Pi的近似值的近似值思考：思考：思考：思考：如何利用韦达公式构造如何利用韦达公式构造如何利用韦达公式构造如何利用韦达公式构造出一种迭代算法？出一种迭代算法？出一种迭代算法？出一种迭代算法？2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页数值积分法计算数值积分法计算PiPi定积分定积分计算出这个积分的数值，也就得到了计算出这个积分的数值，也就得到了Pi的值。
的值2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页数值积分法计算数值积分法计算PiPi1、梯形公式、梯形公式2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页数值积分法计算数值积分法计算PiPi2、辛普森（、辛普森（Simpson）公式）公式2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页利用级数计算利用级数计算PiPi1、莱布尼茨级数（、莱布尼茨级数（1674年发现）年发现）2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页利用级数计算利用级数计算PiPi 1844年，数学家达什在没有计算机年，数学家达什在没有计算机的情况下利用此式算出了的情况下利用此式算出了Pi的前的前200位小位小数使用误差估计式数使用误差估计式计算一下要精确到计算一下要精确到Pi的的200位小数需要取位小数需要取级数的多少项？级数的多少项？2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页利用级数计算利用级数计算PiPi2、欧拉的两个级数（、欧拉的两个级数（1748年发现）年发现）这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实用价值不大。
用价值不大2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页利用级数计算利用级数计算PiPi3、基于、基于arctan x的级数的级数对泰勒级数对泰勒级数即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速度极慢，必须考虑加速算法度极慢，必须考虑加速算法2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页利用级数计算利用级数计算PiPi 观察级数可知， 观察级数可知，x的值越接近于的值越接近于0，级，级数收敛越快由此可以考虑令数收敛越快由此可以考虑令2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页利用级数计算利用级数计算PiPi因此，因此，β＝＝4α－－pi/4非常接近非常接近02024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页利用级数计算利用级数计算PiPi加速效果非常明显！加速效果非常明显！2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页蒙特卡罗（蒙特卡罗（Monte CarloMonte Carlo）法）法 单位圆的面积等于 单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法，，使用蒙特卡罗法，即用随机投点的方法来求出这个面积即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近的近似值。
具体方法如下：似值具体方法如下： 在平面直角坐标系中，以 在平面直角坐标系中，以O(0,0)，，A(1,0)，，C(1,1)，，B(0,1)为四个顶点作一个正为四个顶点作一个正方形，其面积方形，其面积S＝＝1以原点O为圆心的单位为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的扇形，面积为扇形，面积为S1＝＝Pi/42024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页蒙特卡罗（蒙特卡罗（Monte CarloMonte Carlo）法）法 在这个正方形内随机地投入 在这个正方形内随机地投入n个点，设个点，设其中有其中有m个点落在单位扇形内则个点落在单位扇形内则随机投点如何来实现？随机投点如何来实现？2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页蒲丰（蒲丰（BuffonBuffon）掷针实验）掷针实验 另一种用蒙特卡罗法来计算 另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是的方法是1777年法国数学家蒲丰（年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随）提出的随机掷针实验。
其步骤如下：机掷针实验其步骤如下： （ （1）取一张白纸，在上面画出许多间）取一张白纸，在上面画出许多间距为距为d的等距平行线的等距平行线 （ （2）取一根长度为）取一根长度为 的均匀直的均匀直针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一共针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一共掷掷n次观察针和直线相交的次数次观察针和直线相交的次数m2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页蒲丰（蒲丰（BuffonBuffon）掷针实验）掷针实验 （ （3）由几何概率知道针和直线相交的）由几何概率知道针和直线相交的概率为概率为 ，取，取m/n为为p的近似值，的近似值，则则 特别取针的长度 特别取针的长度 时，时，π π=n/m2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页拉马努金（拉马努金（Ramanujan)Ramanujan)公式公式 目前，计算 目前，计算pi的一个极其有效的公式为的一个极其有效的公式为 这个级数收敛得非常快，级数每增加一 这个级数收敛得非常快，级数每增加一项，可提高大约项，可提高大约8位小数的精度。
位小数的精度2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页拉马努金（拉马努金（Ramanujan)Ramanujan)公式公式 1985年，数学家比尔年，数学家比尔.高斯帕依使用这高斯帕依使用这个公式在计算机上算出了个公式在计算机上算出了pi的的1750万位小数万位小数这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数学这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数学家拉马努金家拉马努金(Ramanujan,1887-1929).2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页拉马努金（拉马努金（Ramanujan)Ramanujan)公式公式 另一个经过改进的计算公式为： 另一个经过改进的计算公式为： 级数每增加一项，可提高 级数每增加一项，可提高14位小数的精位小数的精度2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页迭代公式迭代公式 迭代公式 迭代公式1：：1989年，年，BorWein发现了下列收敛于发现了下列收敛于1/pi的的迭代公式：迭代公式：2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页迭代公式迭代公式 迭代误差可以由下式估计 迭代误差可以由下式估计 迭代 迭代4次可精确到次可精确到693位小数！位小数！8次后可以次后可以保证精确到小数点保证精确到小数点178814位！！！位！！！2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页迭代公式迭代公式 迭代公式 迭代公式 迭代公式 迭代公式2 2：：：： 19961996年，年，年，年，BaieyBaiey发现了另一个收敛于发现了另一个收敛于发现了另一个收敛于发现了另一个收敛于1/pi1/pi的迭代公式：的迭代公式：的迭代公式：的迭代公式：2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页迭代公式迭代公式 迭代误差可以由下式估计 迭代误差可以由下式估计2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页结束语结束语 随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与 随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与 随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与 随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新，计算创新，计算创新，计算创新，计算PiPi的世界纪录正在迅速地被刷新。
目前，的世界纪录正在迅速地被刷新目前，的世界纪录正在迅速地被刷新目前，的世界纪录正在迅速地被刷新目前，PiPi的数值已计算到小数点后的数值已计算到小数点后的数值已计算到小数点后的数值已计算到小数点后2061.58432061.5843亿位这一亿位这一亿位这一亿位这一记录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于记录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于记录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于记录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于19991999年年年年9 9月创造的计算用了月创造的计算用了月创造的计算用了月创造的计算用了37h 21min37h 21min，检验用了，检验用了，检验用了，检验用了46h 7min.46h 7min.虽然这样高的精确度已经没有太多 的虽然这样高的精确度已经没有太多 的虽然这样高的精确度已经没有太多 的虽然这样高的精确度已经没有太多 的实际意义但这反映了现代数学科学的日新月异，实际意义但这反映了现代数学科学的日新月异，实际意义但这反映了现代数学科学的日新月异，实际意义但这反映了现代数学科学的日新月异，反映了人类智慧向极限的挑战反映了人类智慧向极限的挑战反映了人类智慧向极限的挑战。
反映了人类智慧向极限的挑战2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页圆周率的探索者们圆周率的探索者们 Archimedes (BC287-BC212) 祖冲之 (430-501) 2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页Ludolph van Ceulen (1540-1610)John Machin (1680-1751)2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页Johann Heinrich Lambert (1728-1777)Adrien-Marie Legendre (1752-1833) 2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939) Srinivasa Ramanujan (1887-1920) 2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页nENIAC (1946) 2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页n创造者 小数点后位数 所用方法-------------------------------------------------------前2000 古埃及人 0前1200 中国 0前500 《圣经》 0（周三径一）前250 阿基米德 3263 刘徽 5 古典割圆术480 祖冲之 71429 Al-Kashi 141593 Romanus 151596 鲁道夫 20 古典割圆术1609 鲁道夫 351699 夏普 71 夏普无穷级数1706 马青 100 马青公式1719 德·拉尼[法] 127(112位正确) 夏普无穷级数1794 乔治·威加[奥地利] 140 欧拉公式1824 威廉·卢瑟福[英] 208(152位正确) 勒让德公式1844 Strassnitzky & Dase 2001847 Clausen 2481853 Lehmann 2611853 Rutherford 4401874 威廉·山克斯 707(527位正确)n2024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页n20世纪后年 月 纪录创造者 所用机器 小数点后位数1946 弗格森[英] 6201947 1 弗格森[英] 7101947 9 Ferguson & Wrench 8081949 Smith & Wrench 1,1201949 Reitwiesner et al ENIAC 2,0371954 Nicholson & Jeenel NORC 3,0921957 Felton Pegasus 7,4801958 1 Genuys IBM 704 10,0001958 5 Felton Pegasus 10,0211959 Guilloud IBM 704 16,1671961 Shanks & Wrench IBM 7090 100,2651966 Guilloud & Filliatre IBM 7030 250,0001967 Guilloud & Dichampt CDC 6600 500,0001973 Guilloud & Bouyer CDC 7600 1,001,2501981 Miyoshi & Kanada FACOM M-200 2,000,0361982 Guilloud 2,000,0501982 Tamura MELCOM 900II 2,097,1441982 Tamura & Kanada HITACHI M-280H 4,194,2881982 Tamura & Kanada HITACHI M-280H 8,388,5761983 Kanada,Yoshino & Tamura HITACHI M-280H 16,777,2061985 10 Gosper Symbolics 3670 17,526,2002024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页n1986 1 Bailey CRAY-2 29,360,1111986 9 Kanada & Tamura HITACHI S-810/20 33,554,4141986 10 Kanada & Tamura HITACHI S-810/20 67,108,8391987 1 Kanada, Tamura & Kubo et al NEC SX-2 134,217,7001988 1 Kanada & Tamura HITACHI S-820/80 201,326,5511989 5 Chudnovskys CRAY-2 & IBM-3090/VF 480,000,0001989 6 Chudnovskys IBM 3090 525,229,2701989 7 Kanada & Tamura HITACHI S-820/80 536,870,8981989 8 Chudnovskys IBM 3090 1,011,196,6911989 11 Kanada & Tamura HITACHI S-820/80 1,073,741,7991991 8 Chudnovskys 2,260,000,0001994 5 Chudnovskys 4,044,000,0001995 8 Takahashi & Kanada HITACHI S-3800/480 4,294,967,2861995 10 Takahashi & Kanada 6,442,450,9381997 7 Takahashi & Kanada 51,539,600,0001999 4 Takahashi & Kanada 68,719,470,0001999 9 Takahashi & Kanada HITACHI SR8000 206,158,430,0002002 Takahashi Team 1,241,100,000,0002024/9/22 主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页谢谢大家！谢谢大家！2024/9/22 。