机器人动力学静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分析的基础特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、动态仿真的基础机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器人上的力和力矩问题特别是当手端与环境接触时，各关节力（矩）与接触力的关系机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制然而高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器人动力学研究者追求的目标4.1机器人静力学一、杆件之间的静力传递在操作机中，任取两连杆4,乙川设在杆4+上的0+1点 作用有力矩 和力再H在杆4上作用有自重力压（过质 心G）； E和W分别为由Q到0小和G的向径按静力学方法，把这些力、力矩简化到乙,的固联坐标系 弓一天》号，可得：工石 4f1=6m+G'Mi=M,・+i+rixFi+i+raxG,・中 式耳=略尸2吟而i=尺+而+ *X % F：：1 +添X总57_=_2g （ mi 为杆 4 求出瓦和而,在z,轴上的分二的质量）。
就得到了关节力和扭矩,它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使建作机保持静力平衡所应提供的关节力或关节力矩，记作r,其大小为4=邛・'号当忽略杆件自重时G,，上式可简记为：若以三表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节则有：一一,一一»Ti=Tio+xG/・）J=i式中rg——是自Q到杆Lj的质心Cj的向径4-2机器人动力学概述一、研究目的:1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定二、机器人动力学研究的问题可分为两类：1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知7,求，招和功称为动力学正问题2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）（即已知夕上和含，求称为动力学逆问题）三、动力学研究方法:1 .拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程代表人物R.P.Paul.JJ.Uicker.J.M.Hollerbach等计算:经优化O（〃3）,递推0（"）。
2 .牛顿一欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿―欧拉方程的动力学方程代表人物Orin,Luh（陆养生）等计算量0（〃）3 .高斯原理法：利用力学中的高斯最小约束原理，把机罂人动力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫（苏）・用以解决第二类问题4 .凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人计4.3.1刚体系统拉格朗日方程应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题定义：L（%，勿）=7一L—Lagrange函数；T—系统动能之和；U—系统势能之和系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐标系等）中表示，不是一定在直角坐标系中动力学方程为：八ddLdLQ：=dtdqidqi//\广义力广义速度广义坐标（力或力矩）（8或U）（或d）■设机器人的手臂，质心在基础坐标系中的平移速度向量为为角速度为例，则杆/的动能为：1T1TT：=—m：vrivri+—co；Leo：■■C-•VtI■•n手臂总能量为：T=z=i杆/在基础坐标系中的速度与第/杆及其之前各杆关节速度的关系为：•，Li AJ J_ 一.，”.第J J其中，*=[?1…q,]T,雅克比矩阵子块j£）,j华为咐二任7J划—[o-当杆j为转动关节时了叫Jb-XL”：-8t其中J—Pci为在基础坐标系中第，-1号坐标原点至杆i质心的向量。
T=母反（人尸比）丁比1+qTj£m%）=iqTMq/，二Iz式中,M为〃xn阶惯性矩阵，为M=+，）”我））r=1#如果用表示惯性矩阵M的元素，:机器人手臂的势能为U=NDPc,广义力为江.为在基础坐标系中由坐标原点到杆f质心的向量Q=tr+Lf其中，％和F分别表示关节力向量和手端与环境的接触力向量由于是*3=1,2,…"）的函数，所以对时间的导数为dyo_S、aM?jdq《_yiOM".展一白3伏七一士为，第二项含对动能了求对q的偏导数，所以J1_丹IJLx？1hA*r\1xS弋、am软,.势能对4的偏导数为重力项G=盟=E"'居T舞=上次比？动力学方程为：Fn»Z乂方q$+Z?人/4期十Gj』Q,J=1,-1由=1_3M*1dMjkhi*——_一）妥2%・解油于1一0o] roo ,J1= o0J LIO-0 ,Jl=0-■o 0#2m[虑 +，i + 初，2（"，舄 + 2，iGcz）+ h 加2（//+，|/）氏）+ 1W2（ 1]2 +，Jc2c2）+ 12 m2[%+ I?代人M=E（k+J户YjP）中得到I-iM-2M.10M]b应用公式人=福-5-笳令i=12j=1,2/=1,2可求出AUI・卜112,…，*222。
其中:力］12=一2m2/1/c2s2,力121=°，阳22二一"4人，c2s2,力211二叽6!冽应用G=士:外屋昭”L2可得J73=8丁（7町儿+a2兄）=叫城遥1+帆2g（八门+，£2c12）G?二g1（mJu+^lJu）=加2gQ，2由Q=*+J%,得Q产门，Qz=qT}-Mu0]+M[2«2+（力112+九121）%方十万]22卷+G]T2—M219i+*M2262+方2U+G?4.4机器人的牛顿―欧拉方程机器人的拉格朗日动力学模型为非线性二阶常微分方程,利用这些方程，由已知的每一轨迹设定点的关节位置、速度和加速度，可以计算各关节的标称力矩，但拉格朗日方程利用4X4齐次变换矩阵，使得计算效率太低为了实现实时控制，曾用过略去哥氏力和向心力的简化模型，但当操作机快速运动时，哥氏力和向心力在计算关节力矩中是相当重要的因而这种简化只能用于机器人的低速运动，在典型的制造业环境中，这是不合乎要求的此外，这种简化所引起的关节力矩误差，不能用反馈控制校正牛顿一欧位法采用迭代形式方程，计算速度快，可用于实时控制，因而成为一种常用的建模方法4.4.4牛顿——欧拉法基本运动方程(E =刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。
借助于杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机器人各杆件的运动达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为：牛顿定理：欧拉方程：M=I"+@*（4@）（凡='（4八J）dt式中：m—杆i质量；F,—杆i上所有外力合力；N,—杆i上所有外力对质心的合力矩；/—杆i绕其质心惯性矩阵根据力（矩）平衡原理，在质心处有:E =£-＜一£卬+机启(24)20瓦=瓦-LNg+（一G”）X（一工"1）-n-i.cixfi-u则有--九二"+肛月-g匕二阕』W*/~（Wx（一£卬）-3心xZ-1./-1启一电x（/㈤=o方程（24）即为牛顿——欧拉法的基本方程4.4.5递推形式的牛顿——欧拉方程上面推导的牛顿——欧拉法（也简称N・E法）方程式含关节联接的约束力（矩），没有显示地表示输入一输出关系，不适合进行动力学分析和控制器设计如果变换成由一组完备且独立的位置变量（质心位置变量通常不是相互独立的）和输入力来描述，这些变量都显式地出现在动力学方程中，即得到显式的输入——输出形式表示的动力学方程，称为封闭形式的动力学方程（拉格朗日方程即是封闭的）关节变量“是一组完备且独立的变量，关节力（矩）r是一组从约束力（矩）中分解出来的独立的输入，所以用4和汇来描述方程，可以得到封闭形式的动力学方程。
寻求转动坐标系和固定惯性坐标系之间必要的数学关系，再推广到运动坐标系（转动和平移）和惯性坐标系之间的美系坐标系Oo.r（>vnz0为基础坐标系，设坐标系Oqz的原点不既•在基础坐标系中以角速度9旋转任意向廿S固定在坐标系八2中,随旋转坐标系运动为了确定£在基础坐标系中的速度，可考虑经微小时间间隔△入动坐标系旋转的角度为[△6=向量$从点八运动至点8,由图中的几何关系可知向量$的变化最为=ACI-AOsinp|cu\Af=।s\j
在基础坐标系中，杆i+1的角速度为叫+1二电+幻+1仇(3-47)对上式求导得在基础坐标系中杆it1的角加速度为叫+i=o,+Gi+i&+8,x\+i“(3-48)求平移速度七.1和平移加速度6i<1)当关节£+1是平移关节时，杆「1在坐标原点Q.]处的平移速度为匕♦】=,+q,.瓦+叫x为”(3-49)式右边第2项是由于关节i+1的平移面产生的，第3项是由于关节i的角速度产生的，其中力”是由坐标系原点至Q”的向量而杆i+I在坐标原点1处的平移加速度可通过对式(3-41)求导得.7='♦[a+人x>-+,+2叫Xq-也+0X(助X/*[)(3-50)(2)当关节3+1是旋转关节时，杆i+1在坐标原点0,”处的平移速度为匕♦产匕+%“X%.|(3-51)式右边第2项是由于关节Z+1的角速度产生的而杆£十1在坐标原点Q*处的平移加速度可通过对式(3-51)求导得4，L4+孙+1x'P,♦1+修+1x〈外+1x如.J26求质心处的加速度1yCi=匕+肛x3flcr=a,十X十x(8jxlpct)节运动变量之间的关系以及约束力与关节力矩之间的关系，消 去中间变量，可以得到封闭形式的动力学方程但显然不如用 拉格朗日法简单，特别是当机器人。