专 题 3导 数 中 的 差 值 比 值 问 题 完成了外函数分而治之， 那么同个函数内部的那些构造也被拿上了台面，关于 f(x1)f(x2) 极值之差问题，还有f(x1)+f(x2)极值之和问题，这里我们会简单介绍一下极值偏移和拐点偏移 的原理关于 x1/x2的比值代换， 甚至需要切线夹放缩的 x1x2这些题起源于高考， 反复演变， 正在逐渐取代之前传统的利用导数求函数单调性和极值的问题，知识反复更新和迭代的过程中， 我们确实需要更新数学模型和方法. 第一讲极值之差 )(xfy的两个极值点 21 xx ，则)()( 21 xfxf称为极值之差.通常解决这类问题需要用到函数的内 构造，一般求导后会构成二次函数，必有 nxx mxx 21 21 ，其中， m 与 n 中必有一个是常数，这样将参数和 2 x 通过韦达定理替换成 1 x ，最后构成一个在已知范围的新函数)( 1 xhy，然后求导即可求出最值.或者利用比 值换元， 1 2 x x t，这里通常n 为常数 . 秒杀秘籍：构造成飘带函数与对数放缩式 )00(ba x b axy，图像由于长得像两条飘带，故称飘带函数， 尤其是) 1 ( 2 1 x xy，与对数函数形成紧 密型放缩关系，我们通常将飘带函数另外一个反比例函数 1 ) 1(2 x x y对xyln进行曲线逼近放缩，即有结 论：0( 1 ) 1(2 ln) 1 ( 2 1 x x x x x x， ) 1 ；)1 ) 1 ( 2 1 ln 1 ) 1(2 ，x x xx x x 证明：构造函数) 1 ( 2 1 ln)( x xxxf，则0 2 ) 1( 2 1 2 11 )( 2 2 2 x x xx xf，而0) 1(f，故当10；当1x时) 1 ( 2 1 ln x xx 构 造 函 数 1 ) 1(2 ln)( x x xxg， 则0 ) 1( ) 1( ) 1( 41 )( 2 2 2 xx x xx xg， 而0) 1(f， 故 当10 x时 ， 1 ) 1(2 ln + x x x ；当1x时， 1 ) 1(2 ln + x x x 在一些bxaxxxf 2 ln)(或者 x b axxxfln)(中，经常出现) 1 ln2()()( 2 1 2 1 2 121 nx nx nxmxfxf这 样的式子，单调性基本固定，只看端点值来求最值，此为经典考题，飘带函数放缩无处不在. 例 1.（2020?攀枝花一模）已知函数 1 ( )()f xxalnxaR x （）求曲线( )yf x 在点 1 ( ,)e e 处的切线方程； （） 若函数 2 ( )( )2g xxfxlnxax（其中( )fx 是( )f x 的导函数） 有两个极值点 1 x 、 2 x ，且 12 xxe ， 求 12()()g xg x 的取值范围 解： （）因为 11 ( )f eeaae ee ， 2 1 ( )1 a fx xx ，即 2 1 ( )1 e fx xx ，故所求切线的斜率为 22 11 ( )1 e fe eee ，所以切线方程为 2 22 112 ()20 x yxeyxe ye eeee （） 22 ( )( )2221g xxfxlnxaxxaxlnx， 2 22(1) ( )22 xax g xxa xx ，若( )g x 有两个极 值点 1 x 、 2 x ，且 12 xxe，则方程 2 10 xax的判别式 2 40a， 12122 1 1 01xxax xxe x ，得2a， 1 1 1 x xa，且 1 1 1x e 所以 22 121112221212121 ()()2222()()2 ()4g xg xxaxlnxxaxlnxxxxxa xxlnx 2 12121111 2 1 11 ()()44(1)xxxxlnxxlnxx xe ， 设 2 2 11 ( )4(1)h ttlntt te ，则 22 33 242(1) ( )20 t h tt ttt 在 1 (,1)t e 上恒成立 故( )h t 在(0,1)t单调递减，从而( )(1)h th 0， 2 2 11 ( )( )4h the ee 所以 12()()g xg x 的取值范围是 2 2 1 (0,4)e e 总结：将 2 x 和 a 转化为 1 x 成为解题关键，本题中，构造了一个单调的函数，其实这个函数来自飘带函数与 对数的放缩式x x xln) 1 ( 2 1 对 10( ，x恒成立，同时x x xln) 1 ( 2 1 对），1x恒成立，从而得到当 10( ，x时，0ln4 1 ln) 1 ( 2 1 2 2 2 2 2 xx x x x x恒成立 . 例 2.（2019?广东期末）已知函数 2 ( )2()f xlnxxax aR有两个极值点 1 x ， 2 x ，其中 12 xx （）求实数a 的取值范围； （）当 2 2ae e 时，求 12 ()()f xf x的最小值 例 3.（2020?绵阳模拟）己知函数 21 ( )2 2 f xlnxxax ，其中 aR （1）讨论函数( )f x 的单调性； （2）设函数( )f x 有两个极值点 1 x ， 2 x （其中 21)xx，若21()()f xf x的最大值为 3 22 2 ln，求实数 a 的取 值范围 例 4.（2018?四川模拟）已知函数 21 ( )() 2 f xxaxlnx aR （1）当1a时，求曲线( )f x 在1x处的切线方程； （2）若函数( )f x 有两个极值点 1 x ， 212()xxx ，求 a的取值范围，并证明 2 12 12 ()()2 2 f xf xaln ae 总结：虽然还是飘带函数和对数，但加入了新的参数元素，不到最后转化为只有 1 x 的函数式，就不能罢休， 以下例题虽然构造的不是飘带函数，但也换汤不换药. 例 5.（2019?长沙期末）已知 2 ( )2f xxaxlnx （）当1a时，求( )f x 的单调区间； （）若( )fx 为( )f x 的导函数，( )f x 有两个不相等的极值点 1 x ， 212 ()xxx，求 12 2()()f xf x的最小值 例 7.（2019?新课标）已知函数 32 ( )22f xxax （1）讨论( )f x 的单调性； （2）当 03a时，记( )f x 在区间 0 ， 1的最大值为M ，最小值为m ，求 Mm 的取值范围 例 8.（2019?和平区校级月考）已知函数 21 ( )(1) 2 f xxalnx ， a为常数 （1）讨论函数( )f x 的单调性； （2）若函数( )f x 有两个极值点 1 x ， 2 x ，且 12 xx ，求证： 21 34 () 8 ln f xx 总结：不是极值之差类型，当两根之积不为常数，而两根之和为常数的情况，比值代换不好使了，解决问 题的关键还是一切转化为 1 x 的单变量函数，那么当 21 xx与 21x x都含有参数怎么办呢？我们看下一题. 例 9.（2020?遂宁模拟）已知函数( )1f xalnxax （1）讨论函数( )f x 的单调性； （2）若函数 21 ( )( )1 2 g xf xx有两个极值点 1 x ， 212 ()xxx且不等式 1212 ()()()g xg xxx恒成立， 求实数的取值范围 总结：如果题目中 21 xx与 21x x都含有相同参数，那么就以这个参数作为单变量的主元来进行函数构造， 通常这类型题技巧不多，更多在运算和基本功打造上，极值既然有差，也会有和，下面我们来介绍一下极 值之和问题的处理方法. 第二讲极值之和 极值之和问题最早出现在2014 年湖南高考自主命题卷中，解决问题的关键就是将)()( 21 xfxf转化为统一 参数 a 后，构造新函数)(ah求出极值之和取值范围. 例 10.（2014?湖南）已知常数0a，函数 2 ( )(1) 2 x f xlnax x （ ）讨论( )f x 在区间 (0,) 上的单调性； （ ）若( )f x 存在两个极值点 1 x ， 2 x ，且 12()()0f xf x ，求 a 的取值范围 解： （ ） 2 ( )(1) 2 x f xlnax x 2 22 44(1) ( ) 1(2)(1)(2) aaxa fx axxaxx ， 2 (1)(2)0ax x，当10a时，即1a时，( )0fx恒成立，则函数( )f x 在 (0,) 单调递增， 当01a时，由( )0fx得 2(1)aa x a ， 则函数( )f x 在 (0 ，2 (1) ) aa a 单调递减， 在 2(1) ( aa a ，) 单调递增 （ ）由（ ）知，当1a时，( )0fx，此时( )f x 不存在极值点因此要使( )f x 存在两个极值点 1 x ， 2 x ， 则必有 01a ，又( )f x 的极值点值是 1 2(1)aa x a ， 2 2(1)aa x a ，且 1 x a 且2x， 2 121212 12121212 121212 2244() ()()(1(1)1() 222( ) )4 xxx xxx f xf xlnaxlnaxlna xxa x x xxx xxx 224(1)2 (21)(21)2 2121 a lnalna aa 令 21at ， 由 01a且 1 2 a得， 当 1 0 2 a时， 10t； 当 1 1 2 a时， 01t令 22 ( )ln2h tt t ( ) i 当10t时， 2 ( )2()2h tlnt t ， 22 2222 ( )0 x h t ttt ，故( )h t 在 ( 10)，上单调递减， ( )( 1)40h th，当 1 0 2 a时， 12 ()()0f xfx； ( )ii当 01t 2 ( )2ln2h tt t ， 22 2222 ( )0 t h t ttt ，故( )h t 在 (01)，上单调递减，( )(1)h th0 ， 当 1 1 2 a时， 12()()0f xf x；综上所述，a的取值范围是 1 ( 2 ，1) 例 11.（2020?郑州一模）已知函数 21 ( )lnf xaxx x （ ）若( )f x 在点 (1，(1)f) 处的切线与直线21yx平行，求( )f x 在点 (1，(1)f) 的切线方程； 。