近世代数第二章群论答案§1. 群的定义1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律例如 2.举一个有两个元的群的例解：令,的乘法由下表给出 首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) 因为，由于，若是元素在(1)中出现，那么(1)成立参考第一章，§4，习题3)若是不在(1)中出现，那么有 而(1)仍成立其次，有左单位元，就是；有左逆元，就是，有左逆元，就是所以是一个群读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件，来做群的定义： 里至少存在一个右逆元，能让 对于的任何元都成立； 对于的每一个元，在里至少存在一个右逆元，能让 解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下§2. 单位元、逆元、消去律1. 若群的每一个元都适合方程，那么是交换群 解：令和是的任意两个元由题设 另一方面 于是有。
利用消去律，得 所以是交换群2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数解：令是一个有限群设有元而的阶我们有 设正整数而，那么同上可得，与是的阶的假设矛盾这样，也是的阶，易见否则 与的假设矛盾这样，我们就有一对不同的阶大于2的元和设还有元，，，并且b的阶大于2那么的阶也大于2，并且我们也有否则 消去得，与假设矛盾同样可证这样，除和外，又有一对不同的阶大于2的元和由于是有限群，而的阶大于2的元总是成对出现，所以里这种元的个数一定是偶数3.假定是一个阶是偶数的有限群在里阶等于2的元的个数一定是奇数 解：由习题2知，里阶大于2的元的个数是偶数但只有一个阶是1的元，就是单位元于是由于的阶是偶数，得里阶等于2的元的个数是奇数4.一个有限群的每一个元的阶都有限 解：令是一个有限群而是的任一元素，那么不能都不相等因此存在正整数 i，j，，使 ，用乘两边，得（1） 这样，存在正整数，使（1）成立，因此也存在最小的正整数，使，这就是说，元的阶是4. 群的同态假定在两个群和的一个同态映射之下， 与的阶是不是一定相同？解：不一定。
例如，令是本章1中例2所给出的群而是该节中例1所给出的的群那么读者容易证明 是的任意元是到的一个同态映射但的每一元都是无限阶的，而的阶是15. 变换群1. 假定是集合的一个非一一变换会不会有一个左逆元使得解：可能有例如令={所有正整数}，则： ， 显然是的一个非一一变换而的变换： 就能使2. 假定是所有实数作成的集合证明，所有的可以写成 和是有理数， 形式的变换作成一个变换群这个群是不是一个变换群？解：令是由一切上述变换作成的集合考察的任何两个元素： 和是有理数， ： 和是有理数， 那么： 这里和都是有理数，并且所以仍属于结合律对一般变换都成立，所以对上述变换也成立单位变换： 属于容易验证，在中有逆，即： 因此作为一个变换群但不是一个交换群令： ： 那么： ： 3. 假定是一个集合的所有变换作成的集合。
我们暂时用符号： 来说明一个变换证明，我们可以用： 来规定一个乘法，这个乘法也适合结合律并且对于这个乘法来说，还是的单位元解：令和是的任意两个元而是的任意一个元那么和都是的唯一确定的元因此如上规定仍是的一个唯一确定的元而我们得到了一个的乘法令也是一个任意元，那么 所以而乘法适合结合律 令是的任意元由于对一切，都有，所以 即而仍是的单位元4. 证明，一个变换群的单位元一定是恒等变换解：设是由某一集合的变换组成一个变换群，而是的单位元任取的一个元和的一个元由于，有 由于是的一个一一变换，所以而是的恒等变换5. 证明，实数域上一切有逆的矩阵对于矩阵乘法来说，作成一个群.解：这个题的解法很容易，这里从略6. 置换群1. 找出所有不能和交换的元解：有6个元：，，，，，其中的 ，，=显然可以和交换通过计算，易见其它三个元不能和交换2. 把的所有元写成不相连的循环置换的乘积解： =（1），=（2 3）=（1 2），=（1 3），=（1 2 3）=（1 3 2）3．证明：（ⅰ）两个不相连的循环置换可以交换；（ⅱ）解：（ⅰ）看的两个不相连的循环置换和τ。
我们考察乘积τ使数字1，2，…，n如何变动有三种情况a） 数字 在中出现，并且把变成j这时由于和τ不相连，j不在τ中出现，因而τ使j不变，所以τ仍把变成jb） 数字在τ中出现，并且τ把变成这时不在中出现，因而使不变，所以τ仍把变成c） 数字不在和τ中出现这时τ使不动如上考察τ使数字1，2，…，n如何变动，显然得到同样的结果因此τ=τⅱ）由于，所以4．证明一个循环置换的阶是 解：一个循环置换π=的一次方，二次方，…，次方分别把变成同理把变成,…,把变成由上面的分析，若是，那么这就证明了，π的阶是5．证明的每一个元都可以写成（1 2），（1 3），…，（1 n）这个循环置换中的若干个的乘积解：由于每一个置换都可以写成不相连的循环置换的乘积，所以只须证明，一个循环置换可以写成若干个（1 ）形的置换的乘积设π是一个循环置换我们分两个情形加以讨论a） 1在π中出现，这时π可以写成容易验算（b） 1不在π中出现，这时§7.循环群1． 证明，一个循环群一定是交换群解：设循环群那么的任何两个元都可以写成和（m，n是整数）的形式但 所以是一个交换群2.假定群的元a的阶是n证明的阶是 ，这里d=( r，n )是r和n的最大公因子。
解：由于d｜r ，r=ds ，所以现在证明， 就是的阶设的阶为令 得 但而是的阶，所以 而于是｜ 参看本节定理的第二种情形为了证明 ，只须反过来证明｜ 由 而n是a的阶，同上有n｜r , 因而｜ 但d是n和r的最大公因子，所以互素而有 3.假定a生成一个阶是n的循环群证明：也生成，假如（r,n）=1 (这就是说r和n互素)解：由习题2，的阶是n所以互不相同但G只有n个元，所以 ，而生成4．假定是循环群，并且与同态证明也是循环群解：由于与同态，也是一个群设，而在到的同态满射φ下， 看的任意元 那么在φ下，有 这样，的每一元都是的一个乘方而5．假定是无限阶的循环群，是任何循环群证明与同态解：令，定义 Φ： 我们证明，φ是到的一个同态满射ⅰ）由于是无限阶的循环群，的任何元都只能以一种方法写成的形式，所以在φ之下，的每一个元有一个唯一确定的象，而φ是到的一个映射ⅱ）的每一个元都可以写成的形式，因此它在φ之下是的元的象，而φ是到的一个满射ⅲ）所以φ是到的一个同态满射§8. 子 群1． 找出的所有子群解：显然有以下子群：本身；((1))={(1)}; ((1 2))={(1 2),(1)};((1 3))={(1 3),(1)};((2 3))={(2 3),(1)};((1 2 3))={(1 2 3),(1 3 2)，(1)}。
若的一个子群H含有（1 2）,(1 3)这两个2-循环置换，那么H含有（1 2 ）(1 3)=(1 2 3 ),(1 2 3) (1 2)=(2 3)因而H=.同理，若是的一个子群含有两个2-循环置换（2 1），(2 3)或（3 1）,(3 2),这个子群也必然是用完全类似的方法，读者也可以算出，若是的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是因此上面给出的6个子群是的所有子群2． 证明，群的两个子群的交集也是的子群 解：设和是的子群令e是的单位元那么e属于 ，因而 而令a,b 那么a，b属于 但是子群所以属于 ，因而属于 这就证明了，是G的子群3． 取的子集{(1 2) ,(1 2 3)}生成的子群包含哪些元？一个群的两个不同的子集会不会生成相同的子群？解：见习题1的解4． 证明，循环群的子群也是循环群解：设循环群G=（a）而H是的一个子群若H只含单位元e=a0，则H=（e）是循环群若H不仅含单位元，那么因为H是子群，它一定含有元am，其中m是正整数令是最小的使得属于H的正整数，我们证明，这时 .看H的任一元at令t=iq+r 0≤r＜i那么ai=aiqar。
由于at和aiq都属于H，有 ar=a-iqat∈H于是由假设r=0,at=（ai）q而H=（ai） 5．找出模12的剩余类加群的所有子群 解：模12的剩余类加群是一个阶为12的循环群因此由题4，的子群都是循环群，容易看出：（[0]）=[0] ([1])=([5])=([7])=([11])= ([2])=([10])={[2],[4],[6],[8],[10],[0]}([3])=([9])={[3],[6],[9],[0]}([4])=([8])={[4],[8],[0]}([6])={[6],[0]}是的所有子群6.假定H是群的一个非空子集并且H的每一个元的阶都有限证明，H作成一个子集的充要条件是： a,b∈Hab∈H解：由本节定理1，条件显然是必要的要证明条件也是充分的，由同一定理，只须证明： a∈Ha-1∈H设a∈H，由于H的每一元的阶都有限，所以a的阶是某一正整数n而a-1=an-1.于是由所给条件得a-1∈H §9. 子群的陪集1. 证明，阶是素数的群一定是循环群解：设群的阶为素数p，在中取一元a≠e，则a生成的一个循环子群（a）。
设（a）的阶为n，那么n≠1.但由定理2，n│p，所以n=p而G=（a）是一个循环群2. 证明，阶是pm的群（p是素数，m≥1）一定包含一个阶是p的子群 解：设群的阶是pm在中取一元a≠e，那么由定理3，a的阶n│pm.但n≠1,所以n=pt,t≥1,。