弹性力学,朱明礼 njzhu2004@,第一节 平面应力问题和平面应变问题,第二节 平衡微分方程,第三节 平面问题中一点的应力状态,第四节 几何方程 刚体位移,第五节 物理方程,第六节 边界条件,第二章 平面问题的基本理论,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,第八节 按位移求解平面问题,第九节 按应力求解平面问题 相容方程,第十节 常应力情况下的简化 应力函数,弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为 §2-1 平面应力问题和平面应变问题,弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为 ；,平面应力,两类特殊问题1、平面应力问题,（4）约束作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变3）面力作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变；,（2）体力作用于体内，平行于板的中面， 沿板厚不变；,条件是：,第一种：平面应力问题,平面应力,（1）等厚度的薄板；,坐标系如图选择平面应力,简化为平面应力问题：,故只有平面应力 存在由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：,平面应力,（1）两板面上无面力和约束作用，故,,所以归纳为平面应力问题： a.应力中只有平面应力 存在； b.且仅为 。
平面应力,（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向 不变，故应力 仅为 如：弧形闸门闸墩,计算简图：,平面应力,深梁,计算简图：,F,,因表面无任何面力，,平面应力,A,B,例题1：试分析AB薄层中的应力状态故接近平面应力问题故表面上，有：,在近表面很薄一层内：,第二种：平面应变问题,,,（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,平面应变,第二种：平面应变问题,条件是：,（1）很长的常截面柱体；,（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变坐标系选择如图：,平面应变,,对称面,故任何z 面（截面）均为对称面平面应变,（1）截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长；,简化为平面应变问题：,（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿 向均不变，故应力、应变和位移均为 平面应变,所以归纳为平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量 存在； b.且仅为 平面应变,,例如：,平面应变,隧道,挡土墙,o,y,x,y,o,x,且仅为 。
故只有 ，,本题中：,平面应变,ox,y,z,例题2：试分析薄板中的应变状态故为平面应变问题§2－2 平衡微分方程,定义,平衡微分方程--表示物体内任一点的微分体的平衡条件在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：,体力： 定义,应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量应用的基本假定：,连续性假定─应力用连续函数来表示小变形假定─用变形前的尺寸代替变形后的尺寸列出平衡条件：,合力 = 应力×面积，体力×体积；以正向物理量来表示 平面问题中可列出3个平衡条件平衡条件,其中一阶微量抵消，并除以 得：,，同理可得：,平衡条件,当 时，得切应力互等定理,,得,平衡条件,⑵ 适用的条件--连续性，小变形；,说明,对平衡微分方程的说明：,⑴ 代表A中所有点的平衡条件，因位（ ，）∈A；,⑶ 应力不能直接求出；,⑷ 对两类平面问题的方程相同理论力学考虑整体 的平衡（只决定整 体的运动状态）说明,⑸比较:,材料力学考虑有限体 的平衡（近似）弹性力学考虑微分体 的平衡（精确）。
当 均平衡时，保证 ， 平衡； 反之则不然说明,所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的理力（ V ）,材力（ ）,弹力（ ）,h,V,dx,dy,dx,思考题,1.试检查，同一方程中的各项，其量纲 必然相同（可用来检验方程的正确性） 2.将条件 ,改为对某一角点的 ，将得出什么结果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？,已知坐标面上应力 ，求斜面上的应力问题的提出：,§2－3 平面问题中一点的应力状态,问题,求解：取出一个三角形微分体（包含 面， 面， 面），边长,问题,斜面应力表示：,2、平面问题中一点的应力状态,几何参数：,设AB面面积=ds， PB面积=lds，PA面积=mds斜面上应力分解为：,由∑Y=0得：,（2-3）,,由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得,(1)求（ , ）,(a),斜面应力,其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)2、平面问题中一点的应力状态,,P,,斜面上应力分解为：,已知P点应力σxσyτxy 可求出过P点任意斜面上的,,正应力和剪应力（σNτN）利用（2-4）（2-5）,应力在x，y轴上的投影（px，py）利用（2-3）,(2)求（ ）,将 向法向，切向投影，得,斜面应力,主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平主平面上的应力叫主应力。
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0,设某一斜面为主面，则只有 由此建立方程，求出:,(3)求主应力,斜面应力,(c),主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面，主平面上的应力叫主应力注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在两个主应力二者方向互相垂直② σ1+σ2=σx+σy,③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值 ④最大剪应力所在平面与主 平面相交45°，其值为,⑤主平面上剪应力等于零，但τmax作用面上正应力一般不为零而是：,将x，y放在 方向，列出任一斜面上 应力公式，可以得出（设 ）,(4)求最大，最小应力,最大，最小应力,说明：以上均应用弹力符号规定导出d),几何方程─表示任一点的微分线段 上形变与位移之间的关系§2－4 几何方程 刚体位移,定义,变形前位置： 变形后位置： －－各点的位置如图通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段,定义,应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形当 很小时，,假定,几何方程 刚体位移,PA=dx, PB=dy,PA正应变:,PB正应变:,,………（2-8）,几何方程：,对两种平面问题都适用。
假定,由位移求形变：,PA 线应变,PA 转角,PB 线应变,PB 转角,同理，,⑴ 适用于区域内任何点，因为（x,y） A；,对几何方程的说明：,所以平面问题的几何方程为：,说明,,⑶ 适用条件：a.连续性；b.小变形⑵ 应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程；,,,,,⑷ 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果⑸ 形变和位移之间的关系：位移确定 形变完全确定：,,从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定 说明,从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 从物理概念看， ， 确定，物体还可作刚体位移从数学推导看， ， 确定，求位移是积分运算，出现待定函数形变确定，位移不完全确定：,形变与位移的关系,由 ,两边对y积分，,由 ,两边对x积分，,例：若 ,求位移：,形变与位移的关系,代入第三式,分开变量，,因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数 ，由此解出 可得,形变与位移的关系,物理意义：,形变与位移的关系,－－表示物体绕原点的刚体转动。
－－表示x，y向的刚体平移，,结论,形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移 则未定－－须通过边界上的约束条件来确定 思考题,1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是,2.当应变为常量时， 试求出对应的位移分量物理方程－－表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系定义,即为广义胡克定律：,§2－5 物理方程,物理方程的说明：,说明,⑷ 正应力只与线应变有关；切应力只与切应变有关⑶ 是线性的代数方程；,⑵ 是总结实验规律得出的；,⑴ 适用条件─理想弹性体；,物理方程的两种形式： －－应变用应力表示，用于按应力求解；－－应力用应变（再用位移表示）表示，用于按位移求解说明,平面应力问题的物理方程：,代入 ，得：,在z方向,平面应力,代入 得,平面应变问题的物理方程,平面应变,在z方向，,平面应力物理方程→平面应变物理方程：,变换关系：,平面应变物理方程→平面应力物理方程：,思考题,1.试证：由主应力可以求出主应变， 且两者方向一致2.试证：3个主应力均为压应力，有 时可以产生拉裂现象。
3.试证：在自重作用下，圆环（平面 应力问题）比圆筒（平面应变问题）的 变形大位移边界条件 －－设在 部分边界上给定位移分量 和 ,则有,（在 上)a）,定义,边界条件 －－表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系位移边界条件,§2－6 边界条件,⑵ 若为简单的固定边， 则有,位移边界条件的说明：,（在 上）b）,⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件⑴ 它是函数方程，要求在 上每一点 ，位移与对应的约束位移相等在§2－3 中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，,应力边界条件－－设在 上给定了面力分量,（在A中）c）,应力边界条件,将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:,⑴ 它是边界上微分体的静力平衡条件；,说明,应力边界条件的说明：,⑶ 式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界 s上成立；,⑵ 它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；,⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边） 也必须满足⑷ 式（d）中， －－按应力符号规定， ， －－按面力符号规定；,⑸ 位移,应力边界条件均为每个边界两个，分别表示 ， 向的条件；,说明,若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为,当边界面为坐标面时，,坐标面,若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为,应力边界条件的两种表达式：,两种表达式,⑵ 在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相等，方向一致）。
即在同一边界面上,应力数值应等于面力数值(给定),应力方向应同面力方向(给定)⑴ 在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e），（f ）；,在斜面上，在±坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（e），（f ）有区别例如：,两种表达式,例1 列出边界条件：,例2 列出边界条件：,显然，边界条件要求在 上， 也成抛物线分布⑴ 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；,混合边界条件,混合边界条件：,⑵ 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件例3 列出 的边界条件：,弹性力学问题是微分方程的边值问题应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件主要的困难在于难以满足边界条件§2－7 圣维南原理及其应用,。