幂函数作图两步曲

1 / 3幂函数作图两步曲我们都知道，形如的函数叫做幂函数，其中为常数，且.axy aRa 麻烦就麻烦在，随着取值范围的不同，幂函数的图像千变万化.那么，怎样迅速Raa 准确地画出幂函数的图像呢？我认为走好两步即可：单调性，定义域和奇偶性. 1.1.单调性，确切地说，是先确定函数在第一象限内的单调性单调性，确切地说，是先确定函数在第一象限内的单调性. . 具体说来，若，则函数在第一象限内单调增；若，则函数在第一象限内单调0a0a 减，类似于反比例函数，随的增大，函数图像与轴、轴无限接近，但永不相交.其中，xxy 单调增的又分为以下三种： （1）时，随 x 的增大，函数图像向轴方向延伸.1ay （2）时，图像即为直线.1axy  （3）时，随的增大，函数图像向轴方向延10 axx 伸. 如图所示. 2.2.定义域和奇偶性定义域和奇偶性. . 方法：将一般式打回原形.下面举例说明. （1）2 xy即，易知是定义域为的偶函数.又其在第21 xy 0xx一象限内单调减，所以图像呈“八字”形，如图 1.（2）31 xy 即，易知是定义域为的奇函数.又其在第一象限内单调增，且随着的增大，3xy Rx 函数图像向轴方向延伸，所以图像呈“斜 S”形，如图 2.xyO11x图1yO11x图20a10 a1a1aOy11y2 / 3（3）34 xy 即，易知是定义域为的偶函数.又其在第一象限内单调增，且随着的增大，34xy Rx 函数图像向轴方向延伸，所以图像呈“抛物线”形，如图 3.y（4）35 xy 即，易知是定义域为的偶函数.又其在第一象限内单调增，且随着的增大，35xy Rx 函数图像向轴方向延伸，所以图像呈“正切”形，如图 4.y（4）32 xy 即，易知是定义域为的偶函数.又其在第一象限内单调增，且随着的增大，32xy Rx 函数图像向轴方向延伸，所以图像呈“海鸥”形，如图 5.xyO11x图3O11xy图 4yO11x图 53 / 3当然，并非所有的幂函数都具备奇偶性，如，即，易知是定义域为21 xy xy 的非奇非偶函数.又其在第一象限内单调增，且随着的增大，函数图像向轴方向，0xx 延伸，所以图像呈“海鸥”形的一半，如图 6.类似地，和分别呈“八字”形、 “抛物线”形的一半.21 xy23 xy  需要注意的是，以上所画的只是各个幂函数在坐标系内的草图，若是在同一坐标系内画 不同的幂函数的图像，则要体现出它们的区别和联系. 最后，我们给出若干不同幂函数在同一坐标系内的图像，要比较它们指数的大小，我们 只需画出一条直线即可，如图 7 所示.1bbx显然，所有幂函数的图像必过点，且永不过第四象限.(1,1)yO11x图 6b0xy  图 7。