迭代计算问题 摘要】迭代方法是现代计算数学的根本方法，迭代是重复反响过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果.借助用“牛顿切线法〞和“二分法〞求一元二次方程解的问题，考查理解运算对象、把握运算规律、表达运算结果、设计运算程序等一系列数学运算的思维活动.【关键词】迭代;牛顿切线法;二分法1.牛顿迭代法：设r是f〔x〕=0的根，选取x0作为r的初始近似值.过点〔x0，f〔x0〕〕作曲线y=f〔x〕的切线L，直线L的方程为y=f〔x0〕+f〔x0〕〔x-x0〕，求出切线L与x轴交点的横坐标为x1=x0-f〔x0〕f〔x0〕称x1为r的一次近似值.过点〔x1，f〔x1〕〕作曲线的切线，并求出这条切线与x轴的焦点坐标x2=x1-f〔x1〕f〔x1〕称x2为r的二次近似值.重复以上过程，得到r的近似值序列，其中x〔n+1〕=xn-f〔xn〕f〔xn〕称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式.2.二分法：一般地，对函数f〔x〕，如果存在实数c，当x=c的时候，此时f〔x〕=0，那么就把x=c叫作函数f〔x〕的零点.解方程即要求f〔x〕的所有零点.假定f〔x〕在区间〔x，y〕上连续，先找到a，b属于区间〔x，y〕，使f〔a〕，f〔b〕异号，说明在区间〔a，b〕内一定有零点存在，然后再求fa+b2，现在假设f〔a〕0，a0，那么在区间a，a+b2内有零点，〔注：a+b2迭代法解方程的实质是按照以下步骤构造一个序列x0，x1，…，xn，来逐步逼近方程f〔x〕=0的解：〔1〕选取适当的初值x0;〔2〕确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f〔x〕=0改写为x=φ〔x〕的等价形式;构造序列x0，x1，…，xn，即先求得x1=φ〔x0〕，再求x2=φ〔x1〕，…，如此反复迭代，就得到一个数列x0，x1，…，xn，假设这个数列收敛，即存在极限，且函数φ〔x〕连续，那么很容易得到这个极限值x*=limk→∞xk，x*就是方程f〔x〕=0的根.牛顿迭代法：牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛度，牛顿迭代法公式可化简为：xn+1=xn-f〔xn〕f′〔xn〕.二分法：用二分法求解方程f〔x〕=0的根的前提条件是：f〔x〕在求解的区间[a，b]上是连续的，且f〔a〕与f〔b〕异号，即f〔a〕f〔b〕【例】研究一元二次方程x2+x-1=0的求解问题，这是经典的求黄金分割的方程式.令f〔x〕=x2+x-1.可以对其持续实施“牛顿切线法〞的步骤：在点〔1，1〕处作抛物线的切线交x轴于〔x1，0〕;在点〔x1，f〔x1〕〕处作抛物线的切线，交x轴于〔x2，0〕;在点〔x2，f〔x2〕〕处作抛物线的切线，交x轴于〔x3，0〕……得到一个数列{xn}.答复以下问题：〔1〕求x1的值;〔2〕设xn+1=g〔xn〕，求g〔x〕的解析式;〔3〕用“二分法〞求方程的近似解，给出前四步结果.比拟“牛顿切线法〞和“二分法〞的求解速度.解〔1〕求出抛物线在点〔1，1〕处切线方程y-1=f′〔1〕〔x-1〕，得到y=3x-2.只需令y=0，即可以求得x1=23.〔2〕求出抛物线在点〔xn，f〔xn〕〕处的切线方程y=〔2xn+1〕〔x-xn〕+〔x2n+xn-1〕.然后令y=0，自然得到xn+1=x2n+12xn+1，进而g〔xn〕=x2n+12xn+1.〔3〕用求根公式可以得到一元二次方程的正根为5-12，近似解为0.618，就是著名的黄金分割数.用“二分法〞求方程近似解的前四步为：因为f〔0〕=-1，f〔1〕=1，所以f〔x〕在区间〔0，1〕内至少有一个零点;因为f〔0.5〕=-0.25，所以f〔x〕在区间〔0.5，1〕内至少有一个零点;因为f〔0.75〕=0.3125，所以f〔x〕在区间〔0.5，0.75〕内至少有一个零点;因为f〔0.625〕=0.015625，所以f〔x〕在区间〔0.5，0625〕内至少有一个零点.不难看出，用“二分法〞计算前四步得到近似解为0625.同样从x=1出发，用“牛顿切线法〞可求得第二步和第三步的近似解分别为x2≈0.619，x3≈0.618，比拟“牛顿切线法〞与“二分法〞前几步的结果，可以看到“牛顿切线法〞比“二分法〞快得多.【参考文献】比拟及应用[J].武汉理工大学，2021〔9〕：176.【2】罗皓月，唐.基于牛顿迭代法研究CPhO中的数值方程[J].阿坝师范学院学报，2021〔16〕：158.【3】李光华，李双娥.牛顿迭代法的直观诠释[J].哈尔滨职业技术学院学报，2021〔3〕：125.。