word2014年某某省普通高等教育专升本考试2014年某某专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法与典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程与其自动化、电子信息工程、机械设计制造与其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧 编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限【说明】明确无限接近，但，所以这一零因子可以约去解】=42．分子分母同除求极限例2：求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求解】【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方； (2)3．分子(母)有理化求极限例3：求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式解】例4：求极限【解】【注】此题除了使用分子有理化方法外，与时别离极限式中的非零因子是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现主要考第二个重要极限例5：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数局部解】例6：(1)；(2)，求。
5．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时,,；(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选例7：求极限【解】 .例8：求极限【解】6．用洛必达法如此求极限例9：求极限【说明】或型的极限,可通过罗必塔法如此来求解】【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法如此求解例10：设函数f(x)连续，且，求极限【解】 由于,于是 ====7．用对数恒等式求极限例11：极限【解】 ==【注】对于型未定式的极限，也可用公式=因为例12：求极限.【解1】 原式【解2】 原式8．利用Taylor公式求极限 例13 求极限.【解】 ,;.例14 求极限.【解】 .9．数列极限转化成函数极限求解例15：极限【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法如此，假如直接求有一定难度，假如转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法如此求解解】考虑辅助极限所以，10．n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法如此求极限.例16：极限【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成［0,1］定积分。
解】原式＝例17：极限【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法如此求解； (2) 两边夹法如此需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的解】因为 又 所以 ＝１11．单调有界数列的极限问题例18：设数列满足〔Ⅰ〕证明存在，并求该极限；〔Ⅱ〕计算. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准如此来证明数列极限的存在. 【详解】 〔Ⅰ〕因为，如此.可推得 ，如此数列有界.于是 ，〔因当〕， 如此有，可见数列单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.设，在两边令，得 ，解得，即.〔Ⅱ〕 因 ，由〔Ⅰ〕知该极限为型， (使用了洛必达法如此)故 .二、常见不定积分的求解方法的讨论0. 引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以与各种有关积分的函数的根底，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的根底就是常见不定积分的解法不定积分的解法不像微分运算时有一定的法如此，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来〞的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如〔其中〕；；；等。
这一方面表现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的开展同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比拟困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用1. 不定积分的概念定义：在某区间I上的函数，假如存在原函数，如此称为可积函数，并将的全体原函数记为,称它是函数在区间I内的不定积分，其中为积分符号，称为被积函数，称为积分变量假如为的原函数，如此：=+C(C为积分常数)在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：() 和 是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数性质：1.微分运算与积分运算时互逆的 注：积分和微分连在一起运算时：——————>完全抵消——————>抵消后差一常数2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：=±3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：=(≠0) 在这里，给出两个重要定理： (1)导数为0的函数是常函数 (2)假如两函数的导数处处相等，如此两函数相差一个常数。
以便于更好的解决一些简单的不定积分问题上面将不定积分的概念以与性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法2. 直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和根本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)下面先给出根本求导公式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 根据以上根本求导公式，我们不难导出以下根本积分表：(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 下面举例子加以说明：例2.1： 求解 原式= = = =注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。
例2.2： 求解 原式== = 注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1〞法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用根本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用根本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法3. 第一类换元法(凑微法)利用根本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如就无法求出，必须将它进展变形，然后就可以利用根本积分公式求出其积分如果不定积分用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为，作变量代换，并注意到，如此可将关于变量的积分转化为关于的积分，于是有如果可以求出，不定积分的计算问题就解决了，这就是第一类换元法(凑微分法)注：上述公式中，第一个等号表示换元，最后一个等号表示回代.下面具体举例题加以讨论例3.1：求.解 原式= =对变量代换比拟熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程例3.2：求.解 原式例3.3：求解 在这里做一个小结，当遇到形如：的不定积分，可分为以下3中情况：的：①大于0时。
可将原式化为，其中，x1、x2为的两个解，如此原不定积分为：②等于0时可利用完全平方公式，然后可化成然后根据根本微分公式(2)便可求解③小于0时形如例4，可先给分母进展配方然后可根据根本积分公式(4)便可求解例3.4： 求解 原式 该题也可利用三角函数之间的关系求解： 原式.虽然两种解法的结果不同，但经验证均为的原函数，这也就表现了不定积分的解法以与结果的不唯一性例3.5：求.解 例3.6：求.解 注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；假如为奇次，如此拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算例3.7：求.解 原式注：这里也就是类似例2所说的方法，此处是“减1加1〞法4. 第二类换元法如果不定积分用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量替换后，所得到的关于新积分变量的不定积分可以求得，如此可解决的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分)法设是单调、可导函数，且，又设具有原函数，如此，其中是的反函数注：由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好相反。
例4.1：求不定积分.解 令，如此，，所以axt为将变量复原回原来的积分变量，由作直角三角形，可知，代入上式，得注：对此题，假如令，同样可计算例4.2：求不定积分.解 令，如此，，所以例4.3：求不定积分.解 令，如此，，所以注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：假如果被积函数中含有时，可令，；如果被积函数中含有，可令，；如果被积函数中含有；可令，.例4.4：求不定积分解 令，如此，所以，例4.5：求不定积分.解 (变形).令，.原式关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法5. 分部积分法前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如、——分部积分法. 设函数和具有连续导数，如此移项得到，所以有，或 .上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分化成的形式，使它更容易计算.所采用的主要方法就是凑微分法，例如， 利用分部积分法计算不定积分，选择好u,v非常关键，选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。
下面将通过例题介绍分部积分法的应用 例5.1：求不定积分.解 令，，如此有些函数的积分需要连续屡次应用分部积分法例5.2：求不定积分.解 令和，如此.对后面的不定积分再用分部积分法，(运算熟练后，式子中不再指出u和v了)，代入。