线性代数(周勇)文档

线性代数第一章行列式第一节二阶与三阶行列式一、 二元线性方程组与二阶行列式对于二元线性方程组 （１．１）使用加减消元法，当时，方程组(1.1)有解为，　． （１．２）(1.2)式中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得．其中分母是由方程组(1.1)的4个系数确定的，把这4个数按它们在方程组(1.1)中的位置，排成两行两列(横排称行、竖排称列)的数表 （１．３）表达式称为数表(1.3)所确定的行列式，记作， （１．４）数(i=1,2; j=1,2)称为行列式(1.4)的元素．元素的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列．上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆．如图1-1所示，即实线连接的两个元素(主对角线)的乘积减去虚线连接的两个元素(次对角线)的乘积．图 1-1例1＝３×１－（－２）×２＝７.二、 三阶行列式三、 定义1.1设有9个数排成3行3列的数表 （１．5） 用记号 表示代数和上式称为数表(1.5)所确定的三阶行列式，即Ｄ＝= （１．６）三阶行列式表示的代数和，也可以由下面的对角线法则来记忆，如图1-2所示，其中各实线连接的3个元素的乘积是代数和中的正项，各虚线连接的3个元素的乘积是代数和中的负项．图 1-2例2 计算三阶行列式Ｄ＝解 由对角线法则Ｄ＝１×（－２）×（－５）＋２×（－１）×（－３）＋３×４×２－３×（－２）×（－３）－２×２×（－５）－１×４×（－１）＝４６．例3 >0的充分必要条件是什么?解 由对角线法则=＞0当且仅当｜a｜＞1，因此可得：＞0的充分必要条件是｜a｜＞1．第二节 n阶行列式的定义一、 全排列及其逆序数把n个不同元素按某种次序排成一列，称为n个元素的全排列．n个元素的全排列的总个数，一般用Pn表示，且Ｐn＝n！．对于n个不同元素，先规定各元素间有一个标准次序(如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它们构成了一个逆序．一个排列中所有逆序的总和，称为该排列的逆序数，排列 的逆序数记作τ( )．例如，对排列32514而言，4与5就构成了一个逆序，1与3，2，5也分别构成一个逆序，3与2也构成一个逆序，所以τ(32514)＝５．逆序数的计算法：不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序，设 为这n个自然数的一个排列，自右至左先计算排在最后一位数字 的逆序数，等于排在 前面且比大的数字的个数，再计算的逆序数，然后把所有数字的逆序数加起来，就是该排列的逆序数．例1计算τ［１　３　５…（２n－１）２　４　６…（２n）］．解 从排列１　３　５…（２n－１）２　４　６…（２n）看，前n个数１　３　５…（２n－１）之间没有逆序，后n个数２　４…（２n）之间也没有逆序，只有前后n个数之间才构成逆序．2n最大且排在最后，逆序数为0，2n-2的前面有2n-1比它大，故逆序数为1，2n-4的前面有2n-1、2n-3比它大，故逆序数为2，………………2前面有n-1个数比它大，故逆序数为n-1，因此有τ［１　３　５…（２n－１）２　４　６…（２n）］＝０＋１＋…＋（n－１）＝．逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列．二、 对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素保持不动，这种作出新排列的方法叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证 先证相邻对换的情形．设排列为对换a与b，变为显然这时排列中除a,b两数的顺序改变外，其他任意两数和任意一个数与a或b之间的顺序都没有变．当a＞b时，经对换后，a的逆序数不变，b的逆序数减少1；当a＜b时，对换后，a的逆序数增加1，b的逆序数不变，所以新排列与原排列奇偶性不同．再证一般对换的情形．设排列为，对换a与b，变为．可以把它看做将原排列作n次相邻对换变成，再作n+1次相邻对换变成．因此经过2n+1次相邻对换，排列变为．所以这两个排列的奇偶性不同．三、 n阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的定义，三阶行列式的定义为=由定义可看出：(1) 上式右边的每一项都是3个元素的乘积，这3个元素位于不同的行、不同的列；且每一项3个元素的第1个下标(行标)依次为123，排成了标准次序，第2个下标(列标)排成了，它是1，2，3这3个数的某一个排列，对应上式右端的6项，恰好等于这3个数排列的种数．因此除了正负号外，右端的每一项都可以写成下列形式：，其中是1，2，3的某一个排列，其项数等于Ｐ３＝３！．(2) 项的正、负号与列标排列的逆序数有关．易验证上式右端带正号的项的列下标的排列都是偶排列，带负号的项的列下标的排列都是奇排列．因此各项所带符号由该项列下标的排列的奇偶性所决定，从而各项可表示为综合(1)、(2)得：三阶行列式可以写成其中 为排列 的逆序数．∑表示对1，2，3这3个数的所有全排列 求和．由此，我们引入n阶行列式的定义．定义21设有个数，排成n行n列的数表作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积并冠以符号(-1)τ（ ），即得 (21)的项，由于为自然数1，2，…，n的一个排列，这样的排列共有n!个，因而形如(21)式的项共有n!项，所有这n!项的代数和称为n阶行列式，记为Ｄ＝简记为det(aij)，其中数aij称为行列式det(aij)的元素，即＝ (2.2)按此定义的二阶、三阶行列式，与用对角线法则定义的二阶、三阶行列式是一致的．特别当n=1时，一阶行列式｜a｜=a，注意与绝对值记号的区别．例2 按行列式的定义计算下三角形行列式：Ｄ＝其中未写出的元素全为零(以后均如此)．解 由定义，n阶行列式中共有n!项，其一般项为其中τ＝τ(）．现第1行除外其余元素全为零，故只有一个元素，在第2行中除了 外全是零，故应在中取一个，且只能取一个，因为是第1行第1列的元素，，故 不能再取1，所以，即第2行取，依此类推，第n行只能取，即取元素，从而有Ｄ＝＝即D等于主对角线上元素的乘积．同理可得上三角行列式作为三角形式特例的对角行列式(除对角线上的元素外，其他元素都为0，在行列式中未写出来)，例3证明证由行列式的定义其中τ＝τ［n（n-1）…１］为排列n（n-1）…１的逆序数，又τ［n（n-1）…１］＝（n-1)+(n-2)+…＋１＝，所以结论得以证明．四、 n阶行列式定义的其他形式利用定理2.1，我们来讨论行列式定义的其他表示法．对于行列式的任一项其中1…i…j…n为自然排列，对换 与成这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换．设新的行标排列1…j…i…n的逆序数为τ１，则τ１为奇数；设新的列标排列的逆序数为τ2，则，故于是这就说明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作了一次对换，因此行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性．经过一次对换如此，经过多次对换亦如此．于是经过若干次对换，使列标排列［逆序数τ=τ（）］变为自然排列(逆序数为0)；行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为 则有又若 则 (即 )，可见排列由排列所唯一确定．由此可得n阶行列式的定义如下：定理22n阶行列式也可定义为（２．３）证 按行列式定义有记 按上面的讨论可知：对于D中任一项总有D１中唯一的一项与之对应并相等；反之，对于D１中的任一项同理总有D中唯一一项与之对应并相等，所以D＝Ｄ１．更一般的有n阶行列式的定义如下：定理23 n阶行列式可定义为(2.4)其中第三节 行列式的性质记 Ｄ＝将其中的行与列互换，即把行列式中的各行换成相应的列，得到行列式上式称为行列式D的转置行列式，记作 (或记为D′)．性质1 D＝．证 记D＝det(aij)的转置行列式=则bij=aji(i,j=1,2,…,n),按行列式的定义由定理2.2知＝Ｄ．此性质表明，在行列式中行与列有相同的地位，凡是有关行的性质对列同样成立，反之亦然．性质2交换行列式的两行(或两列)，行列式改变符号．证 设行列式Ｄ１＝是由行列式Ｄ＝det(aij)交换第i和第j两行得到的，当k≠i,j时，bkp=akp;当k=i或j时，bip=ajp,bjp=aip.于是推论1 如果行列式有两行(或两列)完全相同，则此行列式等于零．证 把这两行互换，有D＝－Ｄ，故Ｄ＝０．性质3 行列式中某一行(或列)的各元素有公因子，则可提到行列式符号的外面，即推论2行列式的某一行(或列)所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式．推论3行列式的某一行(或列)的元素全为零时，行列式的值等于零．性质4若行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式等于零．性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，如则D等于下列两个行列式之和，即证 在行列式的定义中，各项都有第i列的一个元素，从而每一项均可拆成两项之和．性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．例如把行列式的第j列乘以常数k后加到第i列的对应元素上，有以上没有给出证明的性质，读者可根据行列式的定义证明．利用这些性质可简化行列式的计算，为了表达简便起见，以ri表示第i行，ci表示第i列，交换i，j两行(列)记为rirj（cicj），第i行(列)乘以数k记为kri(kci），第j行(列)的元素乘以k加到第i行(列)上记为ri+krj(ci+kcj），第i行(列)提取公因式记为ri÷k（ci÷k）．利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式，从而算出行列式的值．例1计算行列式解例2计算n阶行列式解 注意到行列式的各行(列)对应元素相加之和相等这一特点，把第2列至第n列的元素加到第1列对应元素上去，得例3计算行列式解从第4行开始，后行减前行，得可见，计算高阶行列式时利用性质将其化为上三角行列式，既简便又程序化．例4设证明：证 对作运算，把化为下三角行列式，设为对作运算，把化为下三角行列式，设为于是，对D的前k行作运算，再对后n列作运算，把D化为第四节行列式按一行(列)展开 将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径，为此先引进余子式和代数余子式的概念．在n阶行列式中，划去元素aij所在的行和列，余下的n-1阶行列式(依原来的排法)，称为元素aij的余子式，记为Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j，称为元素aij的代数余子式，记为Aij＝（－１）i+jＭij.例如四阶行列式中元素的余子式和代数余。