数字信号处处理电器信息工程学院电器信息工程学院蔡超峰蔡超峰引 言CFSCFTDFSDTFT正变换变换反变换变换时时域频频域连续连续周期非周期离散连续连续非周期非周期连续连续离散周期周期离散离散非周期周期连续连续DFT离散有限长长离散有限长长引 言DFT 的定义义： 周期延拓 DFSDFTDFT 与其 DTFT 之间间的关系：上式表明，N 点序列的 N 个 DFT 系数等于它的 DTFT 在 0,2)的 区间间上的 N 个等间间隔样样本值值引 言DFTDTFT引 言DFT 的性质质： 1.线线性性质质2.卷积积性质质3.时时移性质质4.对对称性质质引 言DFT 相关定理：其中 DFT 帕什瓦尔定理：第六章 与 DFT 有关的几个问题问题1.利用 DFT 计计算线线性卷积积2.利用 DFT 进进行频谱频谱 分析3.快速傅里叶变换变换1. 利用 DFT 计计算线线性卷积积设设 x1(n) 和 x2(n) 分别别是长长度 N1 和 N2的有限长长序列，y(n) 是其线线性卷积积，即从上式可以看出， 在区间间 0 n N1+N2-2 以外，x1(m) 和 x2(n-m)中总总有一个为为 0，因此 y(n) 的长长度为为 N1+N2-1。
令 N = max(N1, N2)，假设设 X1 (k) 和 X2 (k) 分是 x1(n) 和 x2(n) 的 N 点 DFT 系数，根据 DFT 的时时域卷积积性质质有其中 y(n) 称为为 x1(n)和 x2(n) 的 N 点循环环卷积积循环环卷积积的计计算：序列 x1(n) = 1,2 和 x2(n) = 1,4,3,2 , 其中N = max(N1, N2) = 4 1. 利用 DFT 计计算线线性卷积积0m0m0m0my1(n) = 5,6,11,8 循环环卷积积的计计算：序列 x1(n) = 1,2 和 x2(n) = 1,4,3,2 , 其中N = N1+N2-1 = 51. 利用 DFT 计计算线线性卷积积0m0my1(n) = 1,6,11,8,4 0m0m线线性卷积积的计计算：序列 x1(n) = 1,2 和 x2(n) = 1,4,3,21. 利用 DFT 计计算线线性卷积积0y(n) = 1,6,11,8,4 0mm0m0m如果不是选选取 N = max(N1, N2)，而是选选取N N1+N2-1，那么循环环卷积积就转转化为线为线 性卷积积换换句话说话说 ，在 N N1+N2-1 的条件下， N 点时时域循环环卷积积的结结果将等于 x1(n) 和 x2(n) 线线性卷积积的结结果。
因此，若有两个长长度分别为别为 N1 和 N2 的有限长长序列 x1(n) 和 x2(n)，选选取 N N1+N2-1，且假设设 X1 (k) 和 X2 (k) 分是 x1(n) 和 x2(n) 的 N 点 DFT 系数，则则有1. 利用 DFT 计计算线线性卷积积利用 DFT 计计算线线性卷积积流程图图：图图中 N N1+N2-11. 利用 DFT 计计算线线性卷积积x1(n), N x1(n), N1 补补零N 点 DFTx2(n), N2 补补零N 点 DFTx1(n), N N 点 IDFTy(n)长长序列卷积积的计计算：设设 h(n) 长长度为为 M 的有限长长序列，x(n) 是长长度不确定的序列，采用重叠相加法计计算 h(n) 与 x(n) 线线性卷积积的步骤为骤为 ：1.将 x(n) 分为长为长 度为为 L 的小段2.分别计别计 算每段的线线性卷积积 3.重叠相加1. 利用 DFT 计计算线线性卷积积y1(n)y2(n)y3(n)0L2Ly(n)2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析对对于原本就是有限长长度的离散时间时间 信号（比如某些统计统计 数据），可以直接利用DFT精确计计算它们们的频谱频谱 。
但是实际实际 的连续时连续时间间信号和离散时间时间 信号往往具有如下特征：n这这些信号的持续时间续时间 通常都很长长，甚至是无限长长；n这这些信号一般都属于随机信号，且对对它们们往往缺乏足够够的先验验信息；n如果需要对对信号进进行实时实时 分析，则对则对 分析时间时间 有严严格要求因此，对诸对诸 如雷达信号、通信信号和语语音信号进进行频谱频谱 分析时时，必需首先进进行A/D 转换转换 ，把它们转换为们转换为 数字信号，并采用把信号截短或分段处处理的方法，实现频谱实现频谱 分析利用 DFT 进进行频谱频谱 分析流程图图：2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析x (t) 抽样样加窗X(k), Nx (n) x (n), N N 点DFT“混叠效应应” “吉布斯现现象”“栅栏栅栏 效应应”“频频率分辨率” “补补零问题问题 ”“参数选择选择 ”回忆忆抽样样定理：设设 x(t)是一带带限于 M 的连续时间连续时间 信号，即有 如果抽样间样间 隔 Ts 满满足则则 x(t) 就能由其样样本值值序列x(nTs), n=0,1,2唯一地确定2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析0XP(j) HL(j) M s 根据时时域抽样样定理，当信号 x(t) 中包含有 M 的频频率成分时时，抽样样以后频频域中就会产产生混叠失真，从而产产生频谱频谱 分析的误误差，称为为混叠效应应。
解决这这个问题问题 的唯一方法是让让抽样频样频 率 fs（ fs = s /2）足够够高，这这就需要预预先知道 x(t) 的最高频频率 fM 在实际应实际应 用中，通常依照具体应应用要求或采集设备设备 的能力来确定，并且在选择选择 了抽样频样频 率 fs 以后，一般都采用抗混叠滤滤波器来确保无混叠现现象发发生2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析0XP(j) HL(j) 考察矩形窗函数 r2N+1(n) 的 DTFT：令 m=n+N02N+12/(2N+1)-2(2N+1)/ 3随着 N 的增加，主瓣的高度增加，宽宽度变变窄，即主瓣向直流集中；旁瓣高度也增加，但主瓣与旁瓣的高度比不变变，为为 13.46dB2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析设设 x2N+1(n) 为为离散时间时间 信号 x (n) 中的一段这这相当于信号 x (n) 和矩形窗函数 r2N+1(n) 相乘的结结果，即用一个窗函数截取一段信号的方法通常称为为信号加窗，上式中的r2N+1(n) 就是对对信号 x (n) 矩形加窗的结结果假如有则则根据傅里叶变换变换 的频频域卷积积性质质有2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析0由此可见见，时时域上对对信号矩形加窗，在频频域上就是原信号的频谱频谱与矩形窗函数的频谱频谱 做周期卷积积。
加窗后的频谱显频谱显 然不是原信号的频谱频谱 ，即频谱产频谱产 生了畸变变100222“吉布斯现现象”2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析如果在时时域上选选用平滑的窗函数来对对信号加窗，可以减轻轻、甚至基本消除加窗后信号频谱频谱 的过过冲和起伏现现象常用的离散时时间间平滑窗函数有：n汉汉宁（Hanning）窗n汉汉明（Hamming ）窗n布莱克曼（Blackman）窗2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析回忆忆 DFT 的定义义： （周期延拓） DFSDFT2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析DFT 可以看做是由许许多窄带带带带 通滤滤波器组组成： 2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析x (n), N 直流通道基频带频带 通滤滤波器2 倍频带频带 通滤滤波器(N-1)倍频带频带 通滤滤波器X(0)X(1)X(2)X(N-1)直流020(N-1)0由此可见见，N 点 DFT 系数 X(k) 只是给给出了特定频频率点 0、0、 20, (N-1)0 上的频谱频谱 ，并没有给给出这这些频频率点之间间的频谱频谱内容，这这就好像是通过过百叶窗观观察窗外的景色，看到的是百叶窗缝缝隙内的部分景色，无法看到被百叶窗挡挡住的景色，这这就是所谓谓的“栅栏栅栏 效应应”。
相邻频邻频 点之间间的频频率差为为：由此可知，f 反比于信号的实际长实际长 度 T，这这种定义义下的分辨率又称为为物理分辨率2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析如果信号的实际长实际长 度 T 保持不变变，通过过增加采样样率的方法不能提高 f ： 欲减小 f ，可以增加信号的实际长实际长 度 T 例题题：信号 x(t) 由三个正弦信号相加组组成，其频频率成分 f1=2Hz， f2=2.02Hz， f3=2.07Hz，即采样频样频 率 fs=10Hz2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析f/(Hz) f/(Hz) |X(ej)|X(ej)|设设信号的长长度 T 为为25.6s，即采样样点数为为256，频频率分辨率 f为为 ： 其频谱为频谱为 左下图图所示设设信号的长长度 T 为为102.4s，即采样样点数为为1024，频频率分辨率 f为为： 其频谱频谱 如右下图图所示2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析如果保持 T 不变变，通过补过补 零的方法增加序列的长长度此时时 f 的值值减小，但实际实际 的频频率分辨率却并没有减小，把这这种定义义下的 f 称为为计计算分辨率例题题：信号 x(t) 由三个正弦信号相加组组成，其频频率成分 分别别是2.67Hz，3.75Hz，6.75Hz，初相分别为别为 0，90，0，采样频样频 率 fs=20Hz。
仅仅取16点数据，得 x(n)，n=0,1,15，求其频谱频谱 然后在 x(n) 后补补 N 个、 7N 个、 29N 个零，再分别别求其频谱频谱 2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析f/(Hz) f/(Hz) f/(Hz) f/(Hz) |X(ej)|X(ej)|X(ej)|X(ej)|参数选择选择 的步骤骤与方法：n如果已知信号 x(t) 的最高频频率 fm，为为了防止混叠，选选定抽样样频频率 fs 满满足 fs 2fm；如果不知道信号 x(t) 的最高频频率 fm，抽样频样频 率可依照具体的应应用要求或采集设备设备 的能力选选定，然后采用抗混叠滤滤波器防止混叠现现象发发生n根据实际实际 需要选选定频频率分辨率 f，然后即可确定做 DFT所需的点数 N= fs /f nfs 和 N 确定以后，即可确定所需信号 x(t) 的长长度 T= N / fs = NTs2. 利用 DFT 进进行频谱频谱 分析DFT及IDFT 表达式：令3. 快速傅里叶变换变换改写为为矩阵阵形式：3. 快速傅里叶变换变换DFT 的计计算量：为为了计计算 N 点 DFT 需要 N2 次复数乘法和 N(N-1) 次复数加法，而每次复数乘法需要四次实实数乘法和两次实实数加法，每次复数加法需要两次实实数加法，因此实现实现 N 点 DFT总总共需要 4N2 次实实数乘法和 2N(N-1)+2N2 次实实数加法。
当N=1024 时时，将需要 400 多万次的实实数乘法和实实数加法运算！3. 快速傅里叶变换变换1965年，库库利（Cooley）和图图基（Tukey）首先提出后来被称为为快速傅里叶变换变换 （fast Fourier transform, FFT）的DFT快速算法FFT 算法的原理和依据主要有两点，第一点是充分利用 WN 因子的性质质：周期性对对称性 如果 N 为为偶数，则则有 可约约性3. 快速傅里叶变换变换单单位圆圆利用上述 WN 因子的性质质，4 点 DFT 矩阵阵可逐步简简化如下： 周期性 对对称性由此可见见， DFT 矩阵阵可约简约简 化成为为大部分元素都是 1 或 -1的矩阵阵，且非 1 或 -1的元素有重复随着 N 的增大，矩阵阵中 1 或 -1元素的比例近于指数的增长长，因此将大大减小 DFT 的 计计算量3. 快速傅里叶变换变换FFT 算法原理和依据的第二点是：N 点 DFT 运算可分解为为两组组N/2 点 DFT 运算令 N=2M，M 为为整数，把 N 点序列 x(n) 按照 n 为为偶数和奇数分为为两个 N/2 点序。