学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 33立体几何基础题题库 301-350（有详细答案）301. 正三棱柱 ABC—A1B1C1的侧面三条对角线 AB1、BC 1、CA 1中，AB 1⊥BC 1.求证：AB1⊥CA 1.解析：方法 1 如图，延长 B1C1到 D，使 C1D＝B 1C1.连 CD、A 1D.因 AB1⊥BC 1，故 AB1⊥CD；又 B1C1＝A 1C1＝C 1D，故∠B 1A1D＝90°，于是 DA1⊥平面 AA1B1B.故 AB1⊥平面 A1CD，因此AB1⊥A 1C.方法 2 如图，取 A1B1、AB 的中点 D1、P.连 CP、C 1D1、A 1P、D 1B，易证 C1D1⊥平面 AA1B1B.由三垂线定理可得 AB1⊥BD 1，从而 AB1⊥A 1D.再由三垂线定理的逆定理即得 AB1⊥A 1C.说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.302. 已知：正三棱柱 ABC—A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：线段 AB′在侧面上的射影长.CB'解析： 如图，取 BC的中点 D.∵AD⊥BC，侧面 ⊥底面 ABC，∴AD⊥侧面'BC'BC是斜线 AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′，∴ ⊥BC′.DB' D设 BB′＝x，在 RtΔ 中，BE∶BD＝ ， ＝ .BD' ''21x学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 33∵E 是 ΔBB′C 的重心.∴BE＝ BC′＝3124x∴x＝ · ，解得：x＝ .312x4∴线段 AB′在侧面的射影长为 .2303. 平面 α 外一点 A在平面 α 内的射影是 A′，BC 在平面内，∠ABA′＝θ，，∠ABC＝ ，求证:cosγ＝cosθ·cosβ.BCA' 解析： 过 A′作 ⊥BC 于 C′，连 AC′.'∵AA′⊥平面 α，BC 垂直 AC在平面 α 内的射线 .'CA∴BC′⊥AC′，cos ＝ .ABC又∵cosθ＝ ,cosβ＝ ，ABC∴cos ＝cosθ·cosβ.304. ΔABC 在平面 α 内的射影是 ΔA′B′C′，它们的面积分别是 S、S′，若 ΔABC 所在平面与平面 α 所成二面角的大小为 θ(0＜θ＜90°＝，则 S′＝S·cosθ.证法一 如图(1)，当 BC在平面 α 内，过 A′作 A′D⊥BC，垂足为 D.学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 33∵AA′⊥平面 α，AD 在平面 α 内的射影 A′D 垂直 BC.∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ.又 S′＝ A′D·BC，S＝ AD·BC，cosθ＝ ,∴S′＝S·cosθ.2121AD证法二 如图(2)，当 B、C 两点均不在平面 α 内或只有一点(如 C)在平面 α 内，可运用(1)的结论证明 S′＝S·cosθ.305. 求证：端点分别在两条异面直线 a和 b上的动线段 AB的中点共面.证明 如图，设异面直线 a、b 的公垂线段是 PQ，PQ 的中点是 M，过 M作平面 α，使 PQ⊥平面 α，且和 AB交于 R，连结 AQ，交平面 α 于 N.连结 MN、NR.∵PQ⊥平面α，MN α，∴PQ⊥MN.在平面 APQ内，PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α，又∵PM＝MQ，∴AN＝NQ，同理可证 NR∥b,RA＝RB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.306. 如图，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA 1＝，M 是 CC1的中点，求证：AB 1⊥A 1M.6学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 33解析：不难看出 B1C1⊥平面 AA1C1C，AC 1是 AB1在平面 AA1C1C上的射影.欲证 A1M⊥AB 1，只要能证 A1M⊥AC 1就可以了.证：连 AC1，在直角 ΔABC 中，BC＝1，∠BAC＝30°，∴ AC＝A 1C1＝ .3设∠AC 1A1＝α，∠MA 1C1＝β∴ tanα＝ ＝ ＝ ,1362tgβ＝ ＝ ＝ .1CAM32∵cot(α+β)＝ ＝ ＝0,tan21∴α+β＝90° 即 AC1⊥A 1M.∵B 1C1⊥C 1A1，CC 1⊥B 1C1，∴B 1C1⊥平面 AA1CC1，AC1是 AB1在平面 AA1C1C上的射影.∵AC 1⊥A 1M，∴由三垂线定理得 A1M⊥AB 1.评注：本题在证 AC1⊥A 1M时，主要是利用三角函数，证 α+β＝90°，与常见的其他题目不太相同.307. 矩形 ABCD，AB＝2，AD＝3，沿 BD把 ΔBCD 折起，使 C点在平面 ABD上的射影恰好落在 AD上.(1)求证：CD⊥AB；(2)求 CD与平面 ABD所成角的余弦值.学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 33(1)证明 如图所示，∵CM⊥面 ABD，AD⊥AB，∴CD⊥AB(2)解：∵CM⊥面 ABD∴∠CDM 为 CD与平面 ABD所成的角，cos∠CDM＝ CDM作 CN⊥BD 于 N，连接 MN，则 MN⊥BD.在折叠前的矩形 ABCD图上可得DM∶CD＝CD∶CA＝AB∶AD＝2∶3.∴CD 与平面 ABD所成角的余弦值为 32308. 空间四边形 PABC中，PA、PB、PC 两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为 AB的中点.(1)求 BC与平面 PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面 PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解 ∵ PA⊥AB，∴∠APB＝90°在 RtΔAPB 中，∵∠ABP＝45°，设 PA＝a，则 PB＝a,AB＝ a,∵PB⊥PC，在 RtΔPBC 中，2∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝ a.3学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 33∵AP⊥PC ∴在 RtΔAPC 中，AC＝ ＝ ＝2a2PCA2)3(a(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面 PAB，∴BC 在平面 PBC上的射影是 BP.∠CBP 是 CB与平面 PAB所成的角∵∠PBC＝60°，∴BC 与平面 PBA的角为 60°.(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a.∴M 为 AB的中点，则 AB⊥PM，AB⊥CM.∴AB⊥平面 PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.309. 在空间四边形 ABCP中，PA⊥PC，PB⊥BC，AC⊥BC.PA、PB 与平面 ABC所成角分别为30°和 45°。
1)直线 PC与 AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点 P到平面 ABC的距离为h，求点 P到直线 AB的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解 (1)AB 与 PC不能垂直，证明如下：假设 PC⊥AB，作 PH⊥平面 ABC于 H，则 HC是 PC在平面 ABC的射影，∴HC⊥AB，∵PA、PB 在平面 ABC的射影分别为 HB、HA，PB⊥BC，PA⊥PC.∴BH⊥BC，AH⊥AC∵AC⊥BC，∴平行四边形 ACBH为矩形.∵HC⊥AB，∴ACBH 为正方形.∴HB＝HA∵PH⊥平面 ACBH.∴ΔPHB≌ΔPHA.学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 33∴∠PBH＝∠PAH，且 PB，PA 与平面 ABC所成角分别为∠PBH，∠PAH.由已知∠PBH＝45°，∠PAH＝30°，与∠PBH＝∠PAH 矛盾.∴PC 不垂直于 AB.(2)由已知有 PH＝h,∴∠PBH＝45°∴BH＝PH＝h.∵∠PAH＝30°，∴HA＝ h.3∴矩形 ACBH中，AB＝ ＝ ＝2h.2HAB2)(h作 HE⊥AB 于 E，∴HE＝ ＝ ＝ h.h23∵PH⊥平面 ACBH，HE⊥AB，由三垂线定理有 PE⊥AB，∴PE 是点 P到 AB的距离.在 RtΔPHE 中，PE＝ ＝ ＝ h.2HE2)3(h7即点 P到 AB距离为 h.27评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.310. 平面 α 内有一个半圆，直径为 AB，过 A作 SA⊥平面 α，在半圆上任取一点 M，连SM、SB，且 N、H 分别是 A在 SM、SB 上的射影.(1)求证：NH⊥SB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 33解 (1)连 AM，BM.∵AB 为已知圆的直径，如图所示.∴AM⊥BM，∵SA⊥平面 α，MB α，∴SA⊥MB.∵AM∩SA＝A，∴BM⊥平面 SAM.∵AN 平面 SAM，∴BM⊥AN.∵AN⊥SM 于 N，BM∩SM＝M，∴AN⊥平面 SMB.∵AH⊥SB 于 H，且 NH是 AH在平面 SMB的射影∴NH⊥SB.(2)由(1)知，SA⊥平面 AMB，BM⊥平面 SAM.AN⊥平面 SMB.∵SB⊥AH 且 SB⊥HN.∴SB⊥平面 ANH.∴图中共有 4个线面垂直关系(3)∵SA⊥平面 AMB，∴ΔSAB、ΔSAM 均为直角三角形.∵BM⊥平面 SAM，∴ΔBMA，ΔBMS 均为直角三角形.∵AN⊥平面 SMB.∴ΔANS、ΔANM、ΔANH 均为直角三角形.∵SB⊥平面 AHN. ∴ΔSHA、ΔBHA、ΔSHN 均为直角三角形学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 33综上所述，图中共有 10个直角三角形.(4)由 SA⊥平面 AMB知：SA⊥AM，SA⊥AB，SA⊥BM；由 BM⊥平面 SAM知：BM⊥AM，BM⊥SM，BM⊥AN；由 AN⊥平面 SMB知：AN⊥SM，AN⊥SB，AN⊥NH；SB⊥平面 AHN知：SB⊥AH，SB⊥HN；综上所述，图中有 11对互相垂直的直线.311. 如图，在棱长为 a的正方体 AC1中，M 是 CC1的中点，点 E在 AD上，且AE＝ AD，F 在 AB上，且 AF＝ AB，求点 B到平面 MEF的距离.313解法一：设 AC与 BD交于 O点，EF 与 AC交于 R点，由于 EF∥BD 所以将 B点到面 MEF的距离转化为 O点到面 MEF的距离，面 MRC⊥面 MEF，而 MR是交线，所以作 OH⊥MR，即 OH⊥面 MEF，OH 即为所求.∵OH·MR＝OR·MC，∴OH＝ .5918a解法二：考察三棱锥 B—MEF，由 VB-MEF＝V M-BEF可得 h.点评 求点面的距离一般有三种方法：①利用垂直面；②转化为线面距离再用垂直面；③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.312. 正方体 。